Question

某課題學(xué)習(xí)小組在一次活動(dòng)中對(duì)三角形的內(nèi)接正方形的有關(guān)問題進(jìn)行了探討：
定義：如果一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)三角形的邊上，那么我們就把這個(gè)正方形叫做三角形的內(nèi)接正方形。
結(jié)論：在探討過程中，有三位同學(xué)得出如下結(jié)果：
甲同學(xué)：在鈍角、直角、不等邊銳角三角形中分別存在____個(gè)、________個(gè)、________個(gè)大小不同的內(nèi)接正方形。
乙同學(xué)：在直角三角形中，兩個(gè)頂點(diǎn)都在斜邊上的內(nèi)接正方形的面積較大。
丙同學(xué)：在不等邊銳角三角形中，兩個(gè)頂點(diǎn)都在較大邊上的內(nèi)接正方形的面積反而較小。
任務(wù)：（1）填充甲同學(xué)結(jié)論中的數(shù)據(jù)；
（2）乙同學(xué)的結(jié)果正確嗎？若不正確，請(qǐng)舉出一個(gè)反例并通過計(jì)算給予說明，若正確，請(qǐng)給出證明；
（3）請(qǐng)你結(jié)合（2）的判定，推測丙同學(xué)的結(jié)論是否正確，并證明。
（如圖，設(shè)銳角△ABC的三條邊分別為a，b，c，不妨設(shè)a>b>c，三條邊上的對(duì)應(yīng)高分別為h_a，h_b，h_c，內(nèi)接正方形的邊長分別為x_a，x_b，x_c，若你對(duì)本小題證明有困難，可直接用“”這個(gè)結(jié)論，但在證明正確的情況下扣1分）。

Answer 1

解：（1）1，2，3；
（2）乙同學(xué)的結(jié)果不正確， 例如：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=1，則 AC=， 如圖①，四邊形DEFB是只有一個(gè)頂點(diǎn)在斜邊上的內(nèi)接正方形， 設(shè)它的邊長為a，則依題意可得：， ∴a=， 如圖②，四邊形DEFH兩個(gè)頂點(diǎn)都在斜邊上的內(nèi)接正方形， 設(shè)它的邊長為b，則依題意可得：， ∴b=， ∴a＞b；
（3）丙同學(xué)的結(jié)論正確． 設(shè)△ABC的三條邊分別為a，b，c，不妨設(shè)a＞b＞c，三條邊上的對(duì)應(yīng)高分別為ha，hb，hc，內(nèi)接正方形的邊長分別為xa，xb，xc， 依題意可得： ∴，同理 ∵ = = = 又∵b＜a，ha＜b， ∴（b-a）＜0， ∴xa＜xb，即xa2＜xb2， ∴在不等邊銳角三角形中，兩個(gè)頂點(diǎn)都在較大邊上的內(nèi)接正方形的面積反而較小。