Question

12．四邊形ABCD中，AD∥BC，AC與BD相交于O點，過O點作EF∥BC分別交AB、CD于E，F(xiàn)兩點，求證：
（1）OE=OF；
（2）$\frac{1}{AD}$+$\frac{1}{BC}$=$\frac{2}{EF}$．

Answer 1

分析 （1）先由平行得出對應邊成比例，再根據(jù)平行線分線段成比例定理，得出EO：BC=FO：BC，即可得出O是EF的中點；
（2）先由AD∥BC∥EF，得到△CFO∽△CDA，△AOE∽△ACB，進而得出FO：AD=CO：AC，OE：BC=AO：AC，最后兩式相加變形，可得結論．

解答 證明：（1）∵AD∥BC，
∴DO：DB=AO：AC，
又∵FO：BC=DO：DB，EO：BC=AO：AC，
∴EO：BC=FO：BC，
∴O是EF的中點，
∴OE=OF；

（2）∵AD∥BC∥EF，
∴△CFO∽△CDA，且△AOE∽△ACB，
∴FO：AD=CO：AC，且OE：BC=AO：AC，
兩式相加，可得
$\frac{FO}{AD}$+$\frac{OE}{BC}$=$\frac{CO}{AC}$+$\frac{AO}{AC}$=$\frac{AC}{AC}$=1，
即$\frac{FO}{AD}$+$\frac{OE}{BC}$=1，
又∵OE=OF=$\frac{1}{2}$EF，
∴$\frac{1}{AD}$+$\frac{1}{BC}$=$\frac{1}{\frac{1}{2}EF}$，即$\frac{1}{AD}$+$\frac{1}{BC}$=$\frac{2}{EF}$．

點評 本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)以及平行線分線段成比例定理的運用，掌握平行線所分線段對應成比例是解題的關鍵．