Question

如圖，AD∥BC，∠A=90°，E是AB上的一點，且AD=BE，∠AED=∠ECB．
（1）△DEC是等腰三角形嗎？請說明理由；
（2）若AD=3，AB=7，請求出CD的長．

Answer 1

（1）解：△DEC是等腰三角形，
理由是：∵AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠A=90°，
∴∠B=90°=∠A，
在△ADE和△BEC中

∴△DAE≌△EBC，
∴DE=EC，
即△DEC是等腰三角形．

（2）∵AD=3，AB=7，△DAE≌△EBC，
∴AD=BE=3，AE=BC=7-3=4，∠ADE=∠BEC，
在Rt△AED中，由勾股定理得：DE=DC=5，
∵∠A=90°，
∴∠ADE+∠AED=90°，
∴∠AED+∠BEC=90°，
∴∠DEC=180°-90°=90，
在Rt△DEC中，由勾股定理得：DC===5．
分析：（1）求出∠A=∠B，證出△DAE≌△EBC，推出DE=EC即可；
（2）根據全等三角形性質得出AD=BE=3，AE=BC=7-3=4，∠ADE=∠BEC，在Rt△AED中，由勾股定理求出DE、CE，求出∠DEC=90°，根據勾股定理求出即可．
點評：本題考查了全等三角形的性質和判定和勾股定理，三角形的內角和定理的應用，主要考查學生的推理能力．