Question

已知一次函數(shù)y=kx+2的圖象經(jīng)過第一，二，三象限，且與x，y軸分別交于A、B兩點O是原點，若△AOB的面積為2．
（1）求一次函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)點P（m，n）（其中n≥0）是一次函數(shù)y=kx+2圖象上的點，過點P向以原點O為圓心1為半徑的⊙O引切線PC、PD，切點分別為C、D，①當(dāng)-2≤m≤0時，求四邊形PCOD的面積S的取值范圍．②若CD=

3

5

10

，求切點C、D的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）因為直線與x，y軸分別交于A、B兩點O是原點，△AOB的面積為2，所以A（-

2

k

，0），B（0，2），

1

2

×2×

2

k

=2，解之即可；
（2）利用PC、PD切⊙O于C、D，可得∠PCO=∠PDO=90°，利用勾股定理可得PD=PC=

m2+n2-1

，所以S_PCOD=

1

2

×

m2+n2-1

×2=

m2+n2-1

，因為P（m，n）是y=x+2上的點，所以n=m+2，所以有S_PCOD=

m2+(m+2)2-1

=

2(m+1)2+1

，結(jié)合m的取值即可對S的取值作出判斷；
（3）因為CD=

3

5

10

，PC、PD是圓的切線，連接OP，則OP⊥CD，所以S_PCOD=

1

2

•CD•OP，即

3 10

10

•

m2+n2

=

2m2+4m+3

，將n=m+2代入可得m的值，從而求出n=3，P（1，3），再設(shè)⊙O與x軸的正、負(fù)半軸交于點F、N，則F（1，0），N（-1，0），利用PF⊥OF，判定PF是過P的圓O的一條切線，所以F與D重合，D（1，0），再連接CN，作CM⊥DN于M，利用DN是直徑，得到
∠NCD=90°，利用勾股定理可求出CN=

ND2-CD2

=

10

5

，
CM=

CN•CD

ND

=

10 5 • 3 10 5

2

=

3

5

，
MD=

CD2-CM2

=

9

5

，
OM=

9

5

-1=

4

5

，
所以C（-

4

5

，

3

5

），D（1，0）．

解答：解：（1）∵一次函數(shù)y=kx+2的圖象經(jīng)過第一，二，三象限，直線與x，y軸分別交于A、B兩點O是原點，△AOB的面積為2，
∴A（-

2

k

，0），B（0，2），
∴

1

2

×2×

2

k

=2，
解之k=1，
所以y=x+2；

（2）①∵PC、PD切⊙O于C、D，
∴∠PCO=∠PDO=90°，
∵OD=OC=1，OP²=m²+n²∴PD=PC=

m2+n2-1

，
∴S_PCOD=

1

2

×

m2+n2-1

×2=

m2+n2-1

，
∵P（m，n）是y=x+2上的點，
∴n=m+2，
∴S_PCOD=

m2+(m+2)2-1

=

2(m+1)2+1

，
∵-2≤m≤0，
∴當(dāng)m=-1時，S有最小值=1，當(dāng)m=-2和m=0時，S有最大值=

3

，
∴1≤S≤

3

；
②∵CD=

3

5

10

，PC、PD是圓的切線，連接OP，則OP⊥CD，
∴S_PCOD=

1

2

•CD•OP，
∴

3 10

10

•

m2+n2

=

2m2+4m+3

，
∵n=m+2，
∴m²+2m-3=0，
∴m=-3或m=1，
∵n≥0，
∴m=1，
∴n=3，P（1，3）
設(shè)⊙O與x軸的正、負(fù)半軸交于點F、N，則F（1，0），N（-1，0），
∴PF⊥OF，即PF是過P的圓O的一條切線，
∴F與D重合，D（1，0），
連接CN，作CM⊥DN于M，
∵DN是直徑，
∴∠NCD=90°，
∵CD=

3 10

5

，ND=2，
∴CN=

ND2-CD2

=

10

5

，
CM=

CN•CD

ND

=

10 5 • 3 10 5

2

=

3

5

，
MD=

CD2-CM2

=

9

5

，
OM=

9

5

-1=

4

5

∴C（-

4

5

，

3

5

），D（1，0）．

點評：本題需仔細(xì)分析題意，結(jié)合圖形，利用勾股定理和切線的性質(zhì)即可解決問題．