Question

已知：如圖，等邊△ABC的邊長為6，點D、E分別在AB、AC上，且AD=AE=2，直線l過點A，且l∥BC，若點F從點B開始以每秒1個單位長的速度沿射線BC方向運(yùn)動，設(shè)F點運(yùn)動的時間為t秒，當(dāng)t＞0時，直線DF交l于點G，GE的延長線與BC的延長線交于點H，AB與GH相交于點O．
（1）當(dāng)t為何值時，AG=AE？
（2）請證明△GFH的面積為定值；
（3）當(dāng)t為何值時，點F和點C是線段BH的三等分點？

Answer 1

分析：（1）由GA∥BC可得△ADG∽△BDF，又BF=t，可得AG=

1

2

t，又AG=AE，問題可求．
（2）由題意，點D、E的位置不變，AD=AE=2，△GDE∽△GFH，可得

DE

FH

的比值不變，即FH的長度不變，△GFH的FH邊的高為定值，從而可證明△GFH的面積為定值．
（3）點F和點C是線段BH的三等分點，則BF=FC=CH，BF=t，由運(yùn)動過程，點F有兩種可能的位置，即在BC內(nèi)，在BC外．在BC內(nèi)時，BF+FC=BC=6，即2t=6；在BC外時，t=2BC=12，問題解決．

解答：解：（1）∵GA∥BC，
∴△ADG∽△BDF，
∴

AG

BF

=

AD

BD

，
∵AB=6，AD=2，∴BD=4，
∴

AG

t

=

2

4

∴AG=

1

2

t，
若AG=AE，
∵AE=AD，
∴有

1

2

t=2，
即t=4s時，AG=AE．

（2）∵AD=AE．AB=AC，∠DAE=∠BAC，
∴△ADE∽△ABC，
∴

DE

BC

=

AE

AC

，∠1=∠B，
∴DE∥BH
∴△GDE∽△GFH，
∴

DE

FH

=

GE

EH

，
又∵l∥BC
∴

DE

BC

=

DE

FH

∴BC=FH=6，
又∵△ABC與△GFH高相等．令高為h，則h=

62-32

=3

3

，
∴S_△GFH=

1

2

×6×3

3

=9

3

，即△GFH面積為定值．

（3）點F和點C是線段BH的三等分點，
①當(dāng)點F在線段BC內(nèi)時，則BF=FC=CH，∴BF=

1

2

BC=3，
∴t=3時，點F和點C是線段BH的三等分點，
②當(dāng)點F在線段BC的延長線上時，則BC=CF=FH=6，
∴BF=2×6=12
∴當(dāng)t=12時，點F，點C是線段BH的三等分點，
綜上所述，當(dāng)t=3s或12s時，
點F，點C是線段BH的三等分點．

點評：此題綜合考查相似三角形，函數(shù)與幾何圖形的關(guān)系，動點的運(yùn)動，運(yùn)用多種知識點，分類思想等，綜合性很強(qiáng)．