Question

已知拋物線y=x²+bx-c與x軸兩交點的坐標分別為A（m，0），B（-3m，0）（m＜0）．
（1）證明：b²+4c＞0；
（2）證明：4c=3b²；
（3）若該函數(shù)圖象與y軸相交于點C，且△ABC的面積為6，求這個二次函數(shù)的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)已知，方程x²+bx-c=0有兩個不同的實根，所以△=b²-4ac＞0代入求出即可；
（2）根據(jù)已知得出m，-3m是一元二次方程x²+bx-c=0的兩根，再利用根與系數(shù)的關系得出b，c與m的關系即可；
（3）首先得出AB=-3m-m=-4m=-2b，OC=|-c|=c，再利用三角形面積公式得出關于b的方程求出即可．
解答：（1）證明：由已知，方程x²+bx-c=0有兩個不同的實根，
所以△=b²-4×1×（-c）=b²+4c＞0；

（2）證明：依題意，m，-3m是一元二次方程x²+bx-c=0的兩根．
根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系，得m+（-3m）=-b，m×（-3m）=-c．
則b=2m＜0，c=3m²＞0．
則4c=3b²=12m²．

（3）解：依題意，AB=-3m-m=-4m=-2b，OC=|-c|=c，
因為△ABC的面積==6，
由（2）知，4c=3b²，所以，
由，
解得  b=-2，
則c=b²=×（-2）²=3．
則y=x²-2x-3=（x-1）²-4．
故二次函數(shù)的最小值為-4．
點評：此題主要考查了一元二次方程中根與系數(shù)的關系以及根的判別式和三角形面積求法、二次函數(shù)最值求法等知識，利用根與系數(shù)關系得出b，c之間的關系是解題關鍵．