Question

（2009•濱州）如圖①，某產(chǎn)品標(biāo)志的截面圖形由一個(gè)等腰梯形和拋物線的一部分組成，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB=20cm，DC=30CM，∠ADC=45度．對(duì)于拋物線部分，其頂點(diǎn)為CD的中點(diǎn)O，且過A、B兩點(diǎn)，開口終端的連線MN平行且等于DC．
（1）如圖①所示，在以點(diǎn)O為原點(diǎn)，直線OC為x軸的坐標(biāo)系內(nèi)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（15，0），試求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求標(biāo)志的高度（即標(biāo)志的最高點(diǎn)到梯形下底所在直線的距離）；
（3）現(xiàn)根據(jù)實(shí)際情況，需在標(biāo)志截面圖形的梯形部分的外圍均勻鍍上一層厚度為3cm的保護(hù)膜，如圖②，請(qǐng)?jiān)趫D中補(bǔ)充完整鍍膜部分的示意圖，并求出鍍膜的外圍周長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）可通過構(gòu)建直角三角形來求A、B的坐標(biāo)，作AE⊥DC，BF⊥DC，垂足分別為E、F；OF就是B點(diǎn)的橫坐標(biāo)，BF就是B點(diǎn)的縱坐標(biāo)．不難得出OF=AB=10cm，在直角三角形BFC中，F(xiàn)C=（CD-AB）=5cm，∠BCF=45°，即可求出BF的長(zhǎng)，也就得出了B點(diǎn)的坐標(biāo)，A、B關(guān)于y軸對(duì)稱，也就能求出A點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）標(biāo)志物的高度其實(shí)就是M、N兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)．由于MN∥=CD，因此如果連接MD、NC，四邊形MDCN就是矩形，那么M、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)和D、C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等，可根據(jù)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)先確定出拋物線的解析式，然后根據(jù)拋物線的解析式來求出M、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得出標(biāo)志物的高度；
（3）經(jīng)過畫圖不難得出鍍膜外圍的周長(zhǎng)應(yīng)該是四條線段和四段圓弧的長(zhǎng)．四條線段就是梯形的周長(zhǎng)，而四段圓弧分別是兩個(gè)圓心角為45°半徑為3cm的弧長(zhǎng)（A，B兩個(gè)頂點(diǎn)所對(duì)的弧長(zhǎng)）以及兩個(gè)圓心角為135°半徑為3cm的弧長(zhǎng)（C、D兩個(gè)頂點(diǎn)所對(duì)的弧長(zhǎng)）．然后可根據(jù)各自的計(jì)算公式求出鍍膜外圍的周長(zhǎng)．
解答：解：（1）作AE⊥DC，BF⊥DC，垂足分別為E，F(xiàn)，
∵AB∥DC
∴四邊形AEFB為矩形
∴AE=BF，AB=EF=20
又∵AD=BC
∴Rt△ADE≌Rt△BCF（HL）
∴DE=FC=（30-20）=5
又∵∠ADE=∠BCF=45°
∴AE=BF=DE=FC=5
又∵OD=OC=15
∴OE=OF=10
∴點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（-10，5），（10，5）；

（2）設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為y=ax²，
由點(diǎn)B（10，5）在其圖象上得5=100a，解得a=，
∴拋物線的函數(shù)解析式為y=x²，
又∵M(jìn)N∥DC，且MN=CD
∴點(diǎn)M，N關(guān)于y軸對(duì)稱
∴點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為15，
代入y=x²得y=
故標(biāo)志的高度為cm；

（3）鍍膜示意圖如下：
由示意圖可知，鍍膜外圍周長(zhǎng)l由四條線段長(zhǎng)和四條半徑為3cm的弧長(zhǎng)構(gòu)成，
故l=5×2+20+30+×2+×2=10+50+6π．
所以鍍膜的外圍周長(zhǎng)為（10+50+6π）cm．
點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、等腰梯形的性質(zhì)，三角形全等等知識(shí)點(diǎn)，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．