如圖,已知等邊△ABC的邊長為2,頂點A、B分別在x軸、y軸的正半軸上移動.
(1)當(dāng)OA=
3
時,求點C的坐標(biāo).
(2)在(1)的條件下,求四邊形AOBC的面積.
(3)是否存在一點C,使線段OC的長有最大值?若存在,請求出此時點C的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
分析:(1)在Rt△AOB中,根據(jù)勾股定理可求OB=1,根據(jù)三角函數(shù)和等邊三角形的性質(zhì)可得∠CAO=90°,進一步得到點C的坐標(biāo);
(2)根據(jù)梯形的面積公式可求四邊形AOBC的面積;
(3)取AB中點D.根據(jù)勾股定理可求CD=
3
,根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半可求OD=1,再根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知當(dāng)且僅當(dāng)為O,D,C在一條線上時,線段OC的長有最大值,進一步求出此時點C的坐標(biāo).
解答:解:(1)∵在Rt△AOB中,AB=2,OA=
3

∴OB=1,
∴∠1=30°,
∵△ABC是等邊三角形,
∴∠2=60°,
∴∠CAO=90°,
∴C(
3
,2);
 
(2)S四邊形AOBC
=(2+1)×
3
÷2
=
3
3
2

 
(3)取AB中點D.
則CD=
3

OD=1(直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半)
OC≤OD+CD(三角形兩邊之和大于第三邊)
當(dāng)且僅當(dāng)為O,D,C在一條線上時,
OC=OD+CD=
3
+1
此時△OAB為等腰直角三角形
C點坐標(biāo):(
3
+1
2
,
3
+1
2
),即(
6
+
2
2
,
6
+
2
2
].
點評:此題考查了直角三角形斜邊上的中線性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),以及勾股定理,熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵.
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相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知等邊三角形ABC的中位線DE的長為1,
則下面結(jié)論中正確的是
 
.(填序號)精英家教網(wǎng)
①AB=2;②△DAE≌△BAC;
③△DAE的周長與△BAC的周長之比為1:3;
④△DAE的面積與△BAC的面積之比為1:4.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知等邊三角形ABC的邊長為2,AD是BC邊上的高.
(1)在△ABC內(nèi)部作一個矩形EFGH(如圖①),其中E、H分別在邊AB、AC上,F(xiàn)G在邊BC上.
①設(shè)矩形的一邊FG=x,那么EF=
 
;(用含有x的代數(shù)式表示)精英家教網(wǎng)
②設(shè)矩形的面積為y,當(dāng)x取何值時,y的值最大,最大值是多少?
(2)當(dāng)矩形EFGH面積最大時,請在圖②中畫出此時點E的位置.(要求尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,并簡要說明確定點E的方法)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•黃浦區(qū)二模)如圖,已知等邊△ABC的邊長為1,設(shè)
n
=
AB
+
BC
,那么向量
n
的模|
n
|=
1
1

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2007•臨夏州)[(1)-(3),10分]如圖,已知等邊△ABC和點P,設(shè)點P到△ABC三邊AB、AC、BC(或其延長線)的距離分別為h1、h2、h3,△ABC的高為h.
在圖(1)中,點P是邊BC的中點,此時h3=0,可得結(jié)論:h1+h2+h3=h.
在圖(2)--(5)中,點P分別在線段MC上、MC延長線上、△ABC內(nèi)、△ABC外.
(1)請?zhí)骄浚簣D(2)--(5)中,h1、h2、h3、h之間的關(guān)系;(直接寫出結(jié)論)
(2)證明圖(2)所得結(jié)論;
(3)證明圖(4)所得結(jié)論.
(4)在圖(6)中,若四邊形RBCS是等腰梯形,∠B=∠C=60°,RS=n,BC=m,點P在梯形內(nèi),且點P到四邊BR、RS、SC、CB的距離分別是h1、h2、h3、h4,橋形的高為h,則h1、h2、h3、h4、h之間的關(guān)系為:
m(h1+h2+h3)-n(h1+h3-h4)=(m+n)h
m(h1+h2+h3)-n(h1+h3-h4)=(m+n)h
;圖(4)與圖(6)中的等式有何關(guān)系?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知等邊三角形ABC的邊長為10,點P、Q分別為邊AB、AC上的一個動點,點P從點B出發(fā)以1cm/s的速度向點A運動,點Q從點C出發(fā)以2cm/s的速度向點A運動,連接PQ,以Q為旋轉(zhuǎn)中心,將線段PQ按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°得線段QD,若點P、Q同時出發(fā),則當(dāng)運動
10
3
10
3
s時,點D恰好落在BC邊上.

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