Question

如圖，已知等邊△ABC的邊長(zhǎng)為2，頂點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸的正半軸上移動(dòng)．
（1）當(dāng)OA=

3

時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．
（2）在（1）的條件下，求四邊形AOBC的面積．
（3）是否存在一點(diǎn)C，使線段OC的長(zhǎng)有最大值？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）在Rt△AOB中，根據(jù)勾股定理可求OB=1，根據(jù)三角函數(shù)和等邊三角形的性質(zhì)可得∠CAO=90°，進(jìn)一步得到點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)梯形的面積公式可求四邊形AOBC的面積；
（3）取AB中點(diǎn)D．根據(jù)勾股定理可求CD=

3

，根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半可求OD=1，再根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知當(dāng)且僅當(dāng)為O，D，C在一條線上時(shí)，線段OC的長(zhǎng)有最大值，進(jìn)一步求出此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵在Rt△AOB中，AB=2，OA=

3

，
∴OB=1，
∴∠1=30°，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠2=60°，
∴∠CAO=90°，
∴C（

3

，2）；
 
（2）S_{四邊形AOBC}
=（2+1）×

3

÷2
=

3 3

2

；
 
（3）取AB中點(diǎn)D．
則CD=

3

OD=1（直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半）
OC≤OD+CD（三角形兩邊之和大于第三邊）
當(dāng)且僅當(dāng)為O，D，C在一條線上時(shí)，
OC=OD+CD=

3

+1
此時(shí)△OAB為等腰直角三角形
C點(diǎn)坐標(biāo)：（

3 +1

2

，

3 +1

2

），即（

6 + 2

2

，

6 + 2

2

]．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，以及勾股定理，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵．