Question

【題目】已知拋物線y= ax2+bx+c開口向下，并且經過A（0，1）和M（2，-3）兩點。

（1）若拋物線的對稱軸為直線x= -1,求此拋物線的解析式；

（2）如果拋物線的對稱軸在y軸的左側，試求a的取值范圍；

（3）如果拋物線與x軸交于B、C兩點，且∠BAC=90，求此時a的值。

Answer 1

【答案】（1）y= -0.5x-x+1;（2）-1<a<0;（3）a= -1.

【解析】

（1）可將A、M的坐標代入拋物線的解析式中，用a替換掉b、c的值，再根據拋物線的對稱軸為-1，即可求出a的值，也就確定了拋物線的解析式．

（2）拋物線的對稱軸在y軸左側，即拋物線對稱軸方程小于0，由此可得出a的取值范圍．

（3）可設出B、C的坐標，如果∠BAC=90°，在直角三角形BAC中，可根據射影定理得出OA2=OCOB，據此可得出a的值．

將A、M的坐標代入拋物線的解析式中有：

，

解得：.

∴拋物線的解析式為y=ax-(2+2a)x+1.

（1）∵拋物線的對稱軸為直線x=-1，

∴，

解得a=-,

∴b=-1,

∴拋物線的解析式為y= -0.5x-x+1.

（2）∵拋物線的對稱軸在y軸的左側，

∴，

即.

∵拋物線開口向下，

∴a＜0,

∴1+a＞0，且a＜0,

∴－1＜a＜0.

（3）設B（x1，0），C（x2，0），x1＜x2，

∵，且a＜0，

∴x1x2＜0，

即B在x軸負半軸，C在x軸正半軸.

∴OB=－x1，OC=x2,

∵∠BAC=90°，

∴在Rt△BAC中，AO⊥BC，根據射影定理可得：

OA2=OBOC=－x1x2=1，

即,

∴a=－1.