Question

（2004•濰坊）附加題：如圖△ABC中，D為AC上一點，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD于E，連接AE．
（1）寫出圖中所有相等的線段，并加以證明；
（2）圖中有無相似三角形？若有，請寫出一對；若沒有，請說明理由；
（3）求△BEC與△BEA的面積之比．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)直角三角形中30度角所對的直角邊是斜邊的一半，可知CD=2ED，則可寫出相等的線段；
（2）兩角對應相等的兩個三角形相似則可判斷△ADE∽△AEC；
（3）要求△BEC與△BEA的面積之比，從圖中可看出兩三角形有一公共邊可作為底邊，若求得高之比可知面積之比，由此需作△BEA的邊BE邊上的高即可求解．
解答：解：（1）在Rt△CED中，∠BDC=60°，
∴DE=，
∴DE=AD，
∴∠DAE=∠DEA=30°，
又∵∠ECA=90°-∠BDC=30°，
∴CE=AE，
∵∠EAB=45-30=15°，∠AEB=360-180-30=150°，
∴∠ABE=180°-150°-15°=15°，
∴BE=AE=CE．

（2）圖中有三角形相似，△ADE∽△AEC；
∵∠CAE=∠CAE，∠ADE=∠AEC，
∴△ADE∽△AEC；

（3）作AF⊥BD的延長線于F，
設AD=DE=x，在Rt△CED中，
可得CE=，故AE=．
∠ECD=30°．
在Rt△AEF中，AE=，∠AED=∠DAE=30°，
∴sin∠AEF=，
∴AF=AE•sin∠AEF=．
∴．
點評：本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定及三角形面積的求法等，范圍較廣．