【題目】如圖1，將一塊含有角的三角板放置在一條直線上，邊與直線重合，邊的垂直平分線與邊分別交于兩點，連接.

(1) 是 三角形；

(2)直線上有一動點(不與點重合) ，連接并把繞點順時針旋轉(zhuǎn)到，連接.當點在圖2所示的位置時，證明.我們可以用來證明，從而得到.當點移動到圖3所示的位置時，結(jié)論是否依然成立?若成立，請你寫出證明過程;若不成立，請你說明理由.

(3)當點在邊上移動時(不與點重合)，周長的最小值是 .

【答案】(1)等邊；(2)成立.理由見解析； (3)

【解析】

(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得：由有一個角是60度的等腰三角形是等邊三角形即可判斷三角形的形狀；

（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得是等邊三角形，及是等邊三角形，我們可以用來證明，從而得到‘

（3）將△PEC的周長轉(zhuǎn)化為OP+BC，BC為固定長度，只要求出OP的最小值即可得出答案.

(1)∵OD垂直平分BC

∴OB=OC

∵OB=OC,∠OBC=60°

∴是等邊三角形

故答案是：等邊

(2)成立.

理由如下:由旋轉(zhuǎn)可知，，

是等邊三角形，

.

由知，是等邊三角形，

，

，

即，

，

.

(3) 由旋轉(zhuǎn)可知，，

是等邊三角形，

.PE=OP

由知，是等邊三角形，

，

，

即，

，

，OP=OE

∵周長為：PE+EC+PC=PE+BP+PC=OP+BC=OP+2

∴當OP取得最小值時，周長

∵垂線段最短

∴當OP⊥BC時，OP取得最小值，此時

∴ 周長的最小值為：

故答案為：

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知△ABO．

(1)點A關(guān)于x軸對稱的點的坐標為_________，點B關(guān)于y軸對稱的點的坐標為_________；

(2)判斷△ABO的形狀，并說明理由．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】定義：若一個三角形中，其中有一個內(nèi)角是另外一個內(nèi)角的一半，則這樣的三角形叫做“半角三角形”. 例如：等腰直角三角形就是“半角三角形”.在鈍角三角形中，，，，過點的直線交邊于點．點在直線上，且．

（1）若，點在延長線上．

① 當，點恰好為中點時，依據(jù)題意補全圖1.請寫出圖中的一個“半角三角形”：_______;

② 如圖2，若，圖中是否存在“半角三角形”（△除外），若存在，請寫出圖中的“半角三角形”，并證明；若不存在，請說明理由；

（2）如圖3，若，保持的度數(shù)與（1）中②的結(jié)論相同，請直接寫出，， 滿足的數(shù)量關(guān)系：______．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，點A在直線l上，點B在直線l外，點B關(guān)于直線l的對稱點為C，連接AC，過點B作BD⊥AC于點D，延長BD至E使BE=AB，連接AE并延長與BC的延長線交于點F.

（1）補全圖形；

（2）若∠BAC=2α，求出∠AEB的大小（用含α的式子表示）；

（3）用等式表示線段EF與BC的數(shù)量關(guān)系，并證明.

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，直線經(jīng)過的直角頂點的邊上有兩個動點，點以的速度從點出發(fā)沿移動到點，點以的速度從點出發(fā)，沿移動到點，兩動點中有一個點到達終點后另一個點繼續(xù)移動到終點過點分別作，垂足分別為點.若，設(shè)運動時間為，則當___時，以點為頂點的三角形與以點為頂點的三角形全等．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某學校計劃從商店購進兩種商品，購買一個商品比購買一個商品多花10元，并且花費300元購買商品和花費100元購買商品的數(shù)量相等.

（1）求購買一個商品和一個商品各需要多少元；

（2）根據(jù)學校實際情況，該學校需要購買種商品的個數(shù)是購買種商品個數(shù)的3倍，還多11個，經(jīng)與商店洽談，商店決定在該學校購買種商品時給予八折優(yōu)惠，如果該學校本次購買兩種商品的總費用不超過1000元，那么該學校最多可購買多少個種商品？

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某班“數(shù)學興趣小組”對函數(shù)的圖象和性質(zhì)進行了探究，探究過程如下，請補充完整．

（）自變量的取值范圍是全體實數(shù)，與的幾組對應(yīng)值列表：

其中__________．

（）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，在如圖所示的平面直角坐標系中描點，并畫出了函數(shù)圖象的一部分，請畫出該函數(shù)圖象的另一部分．

（）觀察函數(shù)圖象，寫出一條函數(shù)的性質(zhì)．

（）進一步探究函數(shù)圖象發(fā)現(xiàn)：

①方程有__________個實數(shù)根．

②方程有個實數(shù)根，的取值范圍是__________．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知：如圖，在平面直角坐標系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，點A、C的坐標分別為A（﹣3，0），C（1，0），．

（1）求過點A、B的直線的函數(shù)表達式；

（2）在x軸上找一點D，連接DB，使得△ADB與△ABC相似（不包括全等），并求點D的坐標；

（3）在（2）的條件下，如P、Q分別是AB和AD上的動點，連接PQ，設(shè)AP=DQ=m，問是否存在這樣的m使得以點A、P、Q為頂點的三角形與△ADB相似？如存在，請求出m的值；如不存在，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】（問題解決）

一節(jié)數(shù)學課上，老師提出了這樣一個問題：如圖1，點P是正方形ABCD內(nèi)一點，PA=1，PB=2，PC=3．你能求出∠APB的度數(shù)嗎？

小明通過觀察、分析、思考，形成了如下思路：

思路一：將△BPC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△BP′A，連接PP′，求出∠APB的度數(shù)；

思路二：將△APB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△CP'B，連接PP′，求出∠APB的度數(shù)．

請參考小明的思路，任選一種寫出完整的解答過程．

（類比探究）

如圖2，若點P是正方形ABCD外一點，PA=3，PB=1，PC=，求∠APB的度數(shù)．

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