已知,二次函數(shù)y=mx2+3(m-
14
)x+4(m<0)與x軸交于A、B兩點(diǎn),(A在B的左邊),與y軸交于點(diǎn)C,且∠ACB=90度.
(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式;
(2)矩形DEFG的一條邊DG在AB上,E、F分別在BC、AC上,設(shè)OD=x,矩形DEFG的面積為S,求S關(guān)于x的函數(shù)解析式;
(3)將(1)中所得拋物線向左平移2個(gè)單位后,與x軸交于A′、B′兩點(diǎn)(A′在B′的左邊),矩形D′E′F′G′的一條邊D′G′在A′B′上(G′在D′的左邊),E′、F′分別在拋物線上,矩形D′E′F′G′的周長是否存在最大值?若存在,請(qǐng)求出最大值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
分析:(1)根據(jù)二次函數(shù)的解析式可以得到C的坐標(biāo)是(0,4),則OC=4,∠ACB=90°且OC⊥AB,因而滿足射影定理,因而有C02=AO•OB,AO•OB就是方程mx2+3(m-
1
4
)x+4=0的兩根的積,根據(jù)韋達(dá)定理,AO•OB就可以用m表示出來.得到關(guān)于m的方程,求出m的值.
(2)已知OD=x,即E點(diǎn)的橫坐標(biāo)是x,代入拋物線的解析式就可以求出E點(diǎn)的縱坐標(biāo);拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)容易得到,根據(jù)待定系數(shù)法就可以求出直線AC的解析式.把E點(diǎn)的縱坐標(biāo)代入AC的解析式就可以求出F點(diǎn)的橫坐標(biāo),就可以得到EF的長(用x表示出來).則函數(shù)解析式就可以得到.
(3)在原來拋物線解析式中用x+2代替解析式中的x,就可以得到平移后的拋物線的解析式.可以設(shè)D’(x,O),同(2)中的解法就可以求出矩形D′E′F′G′的周長關(guān)于x的函數(shù),根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值.
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)∵CO2=AO•OB
m=-
1
4

y=-
1
4
x2-
3
2
x+4

(2)A(-8,0),B(2,0)
OD=x
ED=4-2x,EF=5x精英家教網(wǎng)
S=ED•EF=-10x2+20x(0<x<2)

(3)平移后的拋物線y′=-
1
4
x2-
5
2

∴A′(-10,0)B′(0,0)
設(shè)D′(x,0),則G′(-10-x,0)
E′(x,-
1
4
x2-
5
2
x),
F′(-10-x,-
1
4
x2-
5
2
x)
C矩形D'E'F'G′=2(GD+DE)
=2[10+2x+(-
1
4
x2-
5
2
x)]
=-
1
2
x2-x+20(-5<x<0)
當(dāng)x=-1時(shí),C矩形D′E′F′G′最大值=20.5.
點(diǎn)評(píng):本題是函數(shù)與矩形相結(jié)合的題目,把求最值的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題,利用函數(shù)的性質(zhì)求解.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知:二次函數(shù)的表達(dá)式為y=2x2+4x-1.
(1)設(shè)這個(gè)函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為P,與y軸的交點(diǎn)為A,求P、A兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)將二次函數(shù)的圖象向上平移1個(gè)單位,設(shè)平移后的圖象與x軸的交點(diǎn)為B、C(其中點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)),求B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)及tan∠APB的值.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知:二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,其中點(diǎn)A的坐標(biāo)是(-2,0),點(diǎn)B在x軸的正半軸上,點(diǎn)C在y軸的正半軸上,線段OB、OC的長(OC<OB)是方程x2-10x+24=0的兩個(gè)根.
(1)求B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知:二次函數(shù)y=x2-2(m-1)x-1-m的圖象與x軸交于A(x1,0)、B(x2,0),x1<0<x2,與y軸交于點(diǎn)C,且滿足
1
AO
-
1
OB
=
2
CO

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式;
(2)是否存在著直線y=kx+b與拋物線交于點(diǎn)P、Q,使y軸平分△CPQ的面積?若存在,求出k、b應(yīng)滿足的條件;若不存在,請(qǐng)說明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知:二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A,B兩點(diǎn),其中A點(diǎn)坐標(biāo)為(-3,0),與y軸精英家教網(wǎng)交于點(diǎn)C,點(diǎn)D(-2,-3)在拋物線上.
(1)求拋物線的解析式;
(2)拋物線的對(duì)稱軸上有一動(dòng)點(diǎn)P,求出PA+PD的最小值;
(3)點(diǎn)G拋物線上的動(dòng)點(diǎn),在x軸上是否存在點(diǎn)E,使B、D、E、G這樣的四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?如果存在,求出所有滿足條件的E點(diǎn)坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知:二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)中的x和y滿足下表:
x 0 1 2 3 4 5
y 3 0 -1 0 m 8
(1)可求得m的值為
3
3
;
(2)求出這個(gè)二次函數(shù)的解析式;
(3)當(dāng)0<x<3時(shí),則y的取值范圍為
-1≤y<3
-1≤y<3

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案