Question

14．如圖，拋物線C₁是二次函數(shù)y=x²-10x在第四象限的一段圖象，它與x軸的交點(diǎn)是O、A₁；將C₁繞點(diǎn)A₁旋轉(zhuǎn)180°后得拋物線C₂；交x軸于點(diǎn)A₂；再將拋物線C₂繞A₂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后得拋物線C₃，交x軸于點(diǎn)A₃；如此反復(fù)進(jìn)行下去…
（1）拋物線C₃與x軸的交點(diǎn)A₃的坐標(biāo)是多少？拋物線C_n與x軸的交點(diǎn)A_n的坐標(biāo)是多少？
（2）若某段拋物線上有一點(diǎn)P（2016，a），試求a的值．

Answer 1

分析 （1）通過解方程x²-10x=0可得到A₁（10，0），則OA₁=10，再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得OA₂=2OA₁=20，OA₃=3OA₁=30，…，OA_n=nOA₁=10n，所以A₃的坐標(biāo)為（30，0），A_n的坐標(biāo)為（10n，0）；
（2）由于2016=201×10+16，則可判斷點(diǎn)P（2016，a）在拋物線C₂₀₂上，利用（1）中的結(jié)論得到拋物線C₂₀₂與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（2010，0），（2020，0），拋物線開口向下，利用交點(diǎn)式寫出拋物線C₂₀₂的解析式為y=-（x-2010）（x-2020），然后計(jì)算自變量為2016所對應(yīng)的函數(shù)值即可．

解答 解：（1）當(dāng)y=0時，x²-10x=0，解得x₁=0，x₂=10，則A₁（10，0），OA₁=10，
因?yàn)镺A₂=2OA₁=20，OA₃=3OA₁=30，同理可得OA_n=nOA₁=10n，
所以A₃的坐標(biāo)為（30，0），拋物線C_n與x軸的交點(diǎn)A_n的坐標(biāo)為（10n，0）；
（2）因?yàn)?016=201×10+16，
所以點(diǎn)P（2016，a）在拋物線C₂₀₂上，
而拋物線C₂₀₂與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（2010，0），（2020，0），拋物線開口向下，
所以拋物線C₂₀₂的解析式為y=-（x-2010）（x-2020），
把點(diǎn)P（2016，a）代入得a=-6×（-4）=24，
即a的值為24．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通�？衫脙煞N方法：一是求出原拋物線上任意兩點(diǎn)平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出解析式．解決（2）小題的關(guān)鍵是利用交點(diǎn)式確定點(diǎn)P所在拋物線的解析式．