Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A為圓心，任意長為半徑畫弧分別交AB、AC于點(diǎn)M和N，再分別以M、N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，連結(jié)AP并延長交BC于點(diǎn)D，則下列說法中正確的個(gè)數(shù)是（　�。�

①AD是∠BAC的平分線；②∠ADC=60°；③點(diǎn)D在AB的中垂線上；④S_△DAC：S_△ABC=1：3．

A．1                   B．2                    C．3                D．4

 

Answer 1

【答案】

D

【解析】

試題分析：①根據(jù)作圖的過程可以判定AD是∠BAC的角平分線；②利用角平分線的定義可以推知∠CAD=30°，則由直角三角形的性質(zhì)來求∠ADC的度數(shù)；③利用等角對(duì)等邊可以證得△ADB的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性質(zhì)可以證明點(diǎn)D在AB的中垂線上；④利用30度角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半、三角形的面積計(jì)算公式來求兩個(gè)三角形的面積之比．

解：①根據(jù)作圖的過程可知，AD是∠BAC的平分線．故①正確；

②∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，

∴∠CAB=60°．

又∵AD是∠BAC的平分線，

∴∠1=∠2=∠CAB=30°，

∴∠3=90°-∠2=60°，即∠ADC=60°．

故②正確；

③∵∠1=∠B=30°，

∴AD=BD，

∴點(diǎn)D在AB的中垂線上．

故③正確；

④∵如圖，在直角△ACD中，∠2=30°，

∴CD=AD，

∴BC=CD+BD=AD+AD=AD，S_△DAC=AC•CD=AC•AD．

∴S_△ABC=AC•BC=AC•AD=AC•AD，

∴S_△DAC：S_△ABC=AC•AD：AC•AD=1：3．

故④正確．

綜上所述，正確的結(jié)論是：①②③④，共有4個(gè)．

故選D．

考點(diǎn)：角平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)

點(diǎn)評(píng)：此類問題難度較大，在中考中比較常見，一般在壓軸題中出現(xiàn)，需特別注意.