Question

如圖，在直角坐標系中，Rt△OAB和Rt△OCD的直角頂點A，C始終在軸的正半軸上，B，D在第一象限內(nèi)，點B在直線OD上方，OC＝CD，OD＝2，M為OD的中點，AB與OD相交于E，當點B位置變化時，Rt△OAB的面積恒為.試解決下列問題：

（1）填空：點D坐標為      ；

（2）設點B橫坐標為，請把BD長表示成關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并化簡；

（3）等式BO＝BD能否成立？為什么？

（4）設CM的延長線與AB相交于F，當△BDE為直角三角形時，判斷四邊形BDCF的形狀（無需證明）．

 

Answer 1

【答案】

（1）；                       

（2）

   ① 

   

  ②       

   （3）若OB=BD，則

由①得     

得

∴△，∴此方程無解

∴OB≠BD                          

   （4）如果△BDE為直角三角形，

①當∠EBD=90º時，此時四邊形BDCF為直角梯形．    

②當∠EDB=90º時，此時四邊形BDCF為菱形          

【解析】（1）在Rt△OCD中，根據(jù)勾股定理易求;

（2）根據(jù)Rt△OAB的面積是可求出B點的坐標，因為，所以把B點的坐標代入可得BD長，即可表示成關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式．

（3）假設OB=BD，在Rt△OAB中，用t把OB表示出來，根據(jù)題（2）中用t表示的BD．兩者相等，可得一二次函數(shù)表達式，用根的判別式判斷是否有解．

（4）兩種情況，先假設∠EBD=90°時（如圖2），此時F、E、M三點重合，根據(jù)已知條件此時四邊形BDCF為直角梯形，然后假設∠EDB=90°時（如圖3），根據(jù)已知條件，此時四邊形BDCF為平行四邊形，在Rt△OCD中，OB²=OD²+BD²，用t把各線段表示出來代入，可求出，即此時四邊形BDCF為菱形．