Question

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△OBC的兩條直角邊分別落在x軸、y軸上，且OB=1，OC=3，將△OBC繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△OAE，將△OBC沿y軸翻折得到△ODC，AE與CD交于點F．
（1）若拋物線過點A、B、C，求此拋物線的解析式；
（2）求△OAE與△ODC重疊的部分四邊形ODFE的面積；
（3）點M是第三象限內(nèi)拋物線上的一動點，點M在何處時△AMC的面積最大？最大面積是多少？求出此時點M的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）∵OB=1，OC=3，
∴C（0，-3），B（1，0）
∵△OBC繞原點順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△OAE，
∴A（-3，0），
所以拋物線過點A（-3，0），C（0，-3），B（1，0），
設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），可得，
解得，
故過點A，B，C的拋物線的解析式為y=x²+2x-3．

（2）∵△OBC繞原點順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△OAE，△OBC沿y軸翻折得到△COD，
∴E（0，-1），D（-1，0），
可求出直線AE的解析式為y=-x-1，
直線DC的解析式為y=-3x-3，
聯(lián)立直線AE與直線DC的解析式：
解得：，
∵點F為直線AE與直線DC交點，
∴點F坐標(biāo)為（，），
∴AD×|F_縱|=，
S_{四邊形ODFE}=S_△AOE-S_△ADF=-=．

（3）連接OM，AM，MC，設(shè)M點的坐標(biāo)為（m，n），

∵點M在拋物線上，
∴n=m²+2m-3，
∴S_△AMC=S_△AMO+S_△OMC-S_△AOC=OA•|m|+OC•|n|-OA•OC
=-（m+n）-
=-（m+n+3）
=-（m²+3m）
=-（m+）²+，
∵0＜m＜3，
∴當(dāng)m=-時，n=-，△AMC的面積有最大值，
即當(dāng)點M的坐標(biāo)為（）時，△AMC的面積有最大值．
分析：（1）由題意易得點A、點B、點C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）先求出點D及點E的坐標(biāo)，繼而得出直線AE與直線CD的解析式，聯(lián)立求出點F坐標(biāo)，根據(jù)S_{四邊形ODFE}=S_△AOE-S_△ADF，可得出答案．
（3）連接OM，設(shè)M點的坐標(biāo)為（m，n），繼而表示出△AMC的面積，利用配方法確定最值，并得出點M的坐標(biāo)．
點評：本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、不規(guī)則圖形的面積、兩直線的交點及配方法求二次函數(shù)最值得知識，綜合性較強，難點在第三問，關(guān)鍵是設(shè)處點M的坐標(biāo)，用含m的式子表示出三角形的面積．