Question

某中學(xué)有一塊長為a米，寬為b米的矩形場地，計劃在該場地上修筑寬都為2米的兩條互相垂直的道路，余下的四塊矩形小場地建成草坪．
（1）如圖，請分別寫出每條道路的面積（用含a或含b的代數(shù)式表示）；
（2）已知a：b=2：1，并且四塊草坪的面積之和為312米²，試求原來矩形場地的長與寬各為多少米？
（3）在（2）的條件下，為進(jìn)一步美化校園，根據(jù)實際情況，學(xué)校決定對整個矩形場地作如下設(shè)計（要求同時符合下述兩個條件）：
條件①：在每塊草坪上各修建一個面積盡可能大的菱形花圃（花圃各邊必須分別與所在草坪的對角線平行），并且其中有兩個花圃的面積之差為13米²；
條件②：整個矩形場地（包括道路、草坪、花圃）為軸對稱圖形．
請你畫出符合上述設(shè)計方案的一種草圖（不必說明畫法與根據(jù)），并求出每個菱形花圃的面積．

Answer 1

分析：（1）由圖可知：道路的形狀都是小長方形，因此道路的面積=矩形場地的長×2或?qū)挕?．
（2）根據(jù)a，b的比例關(guān)系，可用未知數(shù)表示出a，b，然后根據(jù)草坪的總面積=大矩形的面積-兩條道路的面積和+道路重疊的小正方形的面積．以此可列出方程求出未知數(shù)的值，也就求出了a，b的值．
（3）根據(jù)兩個條件我們可知：一條道路要平分大矩形，且平分的兩邊中，每邊都有一個大花圃和一個小花圃，然后根據(jù)這個特點(diǎn)，分別出表示出每塊草坪的長和寬也就是菱形花圃的對角線的長，也就能表示出大，小菱形花圃的面積，根據(jù)“有兩個花圃的面積之差為13米²”，讓大花圃的面積-小花圃的面積=13，以此可得出方程，進(jìn)而求出所求的值．

解答：解：（1）這兩條道路的面積分別是2a平方米和2b平方米．

（2）設(shè)b=x米，a=2x米．根據(jù)題意得：
x•2x-（2x+4x-4）=312，
整理得：x²-3x-154=0，
解得：x₁=14，x₂=-11（不合題意舍去）．
∴b=14，a=28．即矩形的長為28米．寬為14米．

（3）符合設(shè)計方案的一種草圖如圖1所示，其中四個菱形花圃中，第1個與第2個，第3個與第4個花圃的面積分別相等．設(shè)AE=x，則FB=14-2-x=12-x（米），AG=

28-2

2

=13（米）．
根據(jù)題意得：

1

2

×13•x-

1

2

（12-x）×13=13，
解得x=7．
∴大菱形花圃的面積為

1

2

×7×13=45.5（米²），
小菱形花圃的面積為

1

2

×（12-7）×13=32.5（米²）．

點(diǎn)評：此題是一道方案設(shè)計問題，屬于開放性題目，（1）（2）兩題是基礎(chǔ)的求矩形的面積問題，旨在為（3）作準(zhǔn)備；要使菱形的面積最大，必須使菱形的四個頂點(diǎn)在小矩形的邊上，然后根據(jù)軸對稱的關(guān)系設(shè)計方案，利用矩形、菱形的面積公式計算．