Question

【題目】在長(zhǎng)方形紙片ABCD中，點(diǎn)E是邊CD上的一點(diǎn)，將△AED沿AE所在的直線折疊，使點(diǎn)D落在點(diǎn)F處．

（1）如圖1，若點(diǎn)F落在對(duì)角線AC上，且∠BAC＝54°，則∠DAE的度數(shù)為　 °．

（2）如圖2，若點(diǎn)F落在邊BC上，且AB＝6，AD＝10，求CE的長(zhǎng)．

（3）如圖3，若點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，AF的沿長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)G，且AB＝6，AD＝10，求CG的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）18；（2）CE的長(zhǎng)為；（3）CG的長(zhǎng)為．

【解析】

（1）由矩形的性質(zhì)可知∠BAD＝90°，易知∠DAC的度數(shù)，由折疊的性質(zhì)可知∠DAE＝∠DAC，計(jì)算可得∠DAE的度數(shù).

（2）由矩形四個(gè)角都是直角及對(duì)邊相等的性質(zhì)及折疊后圖形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理可得BF長(zhǎng)，由CF＝BC﹣BF可求出CF長(zhǎng)，設(shè)CE＝x，則EF＝ED＝6﹣x，在Rt△CEF中，根據(jù)勾股定理求出x值即可；

（3）連接EG，由中點(diǎn)及折疊的性質(zhì)利用HL定理可證Rt△CEG≌△FEG，結(jié)合全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)可設(shè)CG＝FG＝y，可用含y的代數(shù)式表示出AG、BG，在Rt△ABG中，根據(jù)勾股定理求解即可.

解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠BAD＝90°，

∵∠BAC＝54°，

∴∠DAC＝90°﹣54°＝36°，

由折疊的性質(zhì)得：∠DAE＝∠FAE，

∴∠DAE＝∠DAC＝18°；

故答案為：18；

（2）∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠B＝∠C＝90°，BC＝AD＝10，CD＝AB＝6，

由折疊的性質(zhì)得：AF＝AD＝10，EF＝ED，

∴BF＝＝＝8，

∴CF＝BC﹣BF＝10﹣8＝2，

設(shè)CE＝x，則EF＝ED＝6﹣x，

在Rt△CEF中，由勾股定理得：22+x2＝（6﹣x）2，

解得：x＝，

即CE的長(zhǎng)為；

（3）連接EG，如圖3所示：

∵點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，

∴DE＝CE，

由折疊的性質(zhì)得：AF＝AD＝10，∠AFE＝∠D＝90°，FE＝DE，

∴∠EFG＝90°＝∠C，

在Rt△CEG和△FEG中，

，

∴Rt△CEG≌△FEG（HL），

∴CG＝FG，

設(shè)CG＝FG＝y，

則AG＝AF+FG＝10+y，BG＝BC﹣CG＝10﹣y，

在Rt△ABG中，由勾股定理得：62+（10﹣y）2＝（10+y）2，

解得：y＝，

即CG的長(zhǎng)為．