Question

如圖，四邊形ABCD是邊長為3的正方形，長方形AEFG的寬AE=，長EF=．將長方形AEFG繞點A順時針旋轉15°得到長方形AMNH（如圖），這時BD與MN相交于點O．
（1）求∠DOM的度數(shù)；
（2）在圖中，求D、N兩點間的距離；
（3）若把長方形AMNH繞點A再順時針旋轉15°得到長方形ARTZ，請問此時點B在矩形ARTZ的內部、外部、還是邊上？并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由旋轉的性質，可得∠BAM=15°，即可得∠OKB=∠AOM=75°，又由正方形的性質，可得∠ABD=45°，然后利用外角的性質，即可求得∠DOM的度數(shù)；
（2）首先連接AM，交BD于I，連接AN，由特殊角的三角函數(shù)值，求得∠HAN=30°，又由旋轉的性質，即可求得∠DAN=45°，即可證得A，C，N共線，然后由股定理求得答案；
（3）在Rt△ARK中，利用三角函數(shù)即可求得AK的值，與AB比較大小，即可確定B的位置．
解答：解：（1）根據(jù)題意得：∠BAM=15°，
∵四邊形AMNH是矩形，
∴∠M=90°，
∴∠AKM=90°-∠BAM=75°，
∴∠BKO=∠AKM=75°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABD=45°，
∴∠DOM=∠BKO+∠ABD=75°+45°=120°；

（2）連接AN，交BD于I，連接DN，
∵NH=，AH=，∠H=90°，
∴tan∠HAN==，
∴∠HAN=30°，
∴AN=2NH=7，
由旋轉的性質：∠DAH=15°，
∴∠DAN=45°，
∵∠DAC=45°，
∴A，C，N共線，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴BD⊥AC，
∵AD=CD=3，
∴DI=AI=AC==3，
∴NI=AN-AI=7-3=4，
在Rt△DIN中，DN==5；

（3）點B在矩形ARTZ的外部．
理由：如圖，根據(jù)題意得：∠BAR=15°+15°=30°，
∵∠R=90°，AR=，
∴AK===，
∵AB=3＞，
∴點B在矩形ARTZ的外部．
點評：此題考查了旋轉的性質、正方形的性質、矩形的性質、勾股定理以及特殊角的三角函數(shù)問題．此題難度較大，注意數(shù)形結合思想的應用，注意準確作出輔助線是解此題的關鍵．