Question

已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，D、E分別是AC、AB的中點(diǎn)，連接DE，點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿DE方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿BA方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s，當(dāng)點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q也停止運(yùn)動(dòng)．連接PQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（0＜t＜4）．解答下列問(wèn)題：
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，PQ⊥AB？
（2）當(dāng)點(diǎn)Q在BE之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)五邊形PQBCD的面積為y（cm²），求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在（2）的情況下，是否存在某一時(shí)刻t，使PQ分四邊形BCDE兩部分的面積之比為S_△PQE：S_{四邊形PQBCD}=1：29？若存在，求出此時(shí)t的值以及點(diǎn)E到PQ的距離h；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）如圖①，在Rt△ABC中，AC=6，BC=8
∴AB=．
∵D、E分別是AC、AB的中點(diǎn)，AD=DC=3，AE=EB=5，DE∥BC且DE=BC=4
∴PQ⊥AB，
∴∠PQB=∠C=90°
又∵DE∥BC
∠AED=∠B
∴△PQE∽△ACB
∴
由題意得：PE=4﹣t，QE=2t﹣5，
即，解得t=．
（2）如圖②，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AB于M，由△PME∽△ABC，得，
∴，得PM=（4﹣t）
S_△PQE=EQ·PM=（5﹣2t）（4﹣t）=t²﹣t+6，
S_梯形DCBE=×（4+8）×3=18，
∴y=18﹣（t²﹣t+6）=t²+t+12．
（3）假設(shè)存在時(shí)刻t，使S_△PQE：S_{四邊形PQBCD}=1：29，則此時(shí)S_△PQE=S_梯形DCBE，
∴t²﹣t+6=×18，
即2t²﹣13t+18=0，解得t₁=2，t₂=（舍去）．
當(dāng)t=2時(shí)，PM=×（4﹣2）=，ME=×（4﹣2）=，EQ=5﹣2×2=1，MQ=ME+EQ=+1=，
∴PQ===．
∵PQdaintyh=，
∴h==（或）．