Question

如圖，BC是⊙O的直徑，半徑為R，A為半圓上一點，I為△ABC的內(nèi)心，延長AI交BC于D點，交⊙0于點E，作IF⊥BC，連接AO，BI．下列結(jié)論：①AB+AC=BC+2IF；②4∠AIB-∠BOA=360°；③EB=EI；④為定值，其中正確的結(jié)論有

1. A.
   ①③④
2. B.
   ①②③
3. C.
   ①②③④
4. D.
   ①②④

Answer 1

C
分析：①利用直角三角形內(nèi)切圓半徑的求法解答即可；
②利用角平分線定義，三角形內(nèi)角和定理，圓周角定理可得正確性；
③利用角平分線定義，外角知識可得∠EIB=∠EBI，那么EB=EI；
④過E點作角兩邊的垂線，可以由三角形全等及等腰直角三角形性質(zhì)，得到（AB+AC）=AE，再由第（1）問，AB+AC=2（IF+R），可得④正確．
解答：①∵直角三角形內(nèi)切圓半徑=，
∴IF=，
∴AB+AC=BC+2IF，正確；
②∵I為△ABC的內(nèi)心，
∴∠BIA=90+∠C，
∴4∠BIA=360°+2∠C，
∵∠BOA=2∠C，
∴4∠AIB-∠BOA=360°，正確；
③

∵點I是△ABC的內(nèi)心，
∴∠FBI=∠ABI，∠CAD=∠BAD，
∵∠CAD=∠EBC，
∴∠EBC=∠BAD，
∴∠EBC+∠FBI=∠ABI+∠BAD
∴∠EIB=∠EBI，
∴EB=EI．③正確；
④作EN⊥AC于點N，EM⊥AB于點M，連接EC，EB，那么四邊形ENAM是矩形，∠ENC=∠EMB=90°，

∵∠BAC是直角，AI平分∠BAC，
∴∠EAN=45°，
∴EN=AN，
∴四邊形ENAM是正方形，
∴（AM+AN）=AE，EN=EM，
∵∠CEN+∠NEB=90°，∠NEB+∠MEB=90°，
∴∠CEN=∠BEM，
∴△CEN≌△BEM，
∴CN=BM，
∴（AB+AC）=AE，
由（1）得AB+AC=BC+2IF，
∴AB+AC=2R+2IF，
IF+R=，
∴=，
∴④正確．
故選C．
點評：本題綜合考查了與圓有關(guān)的知識；用到的知識點為：直角三角形內(nèi)切圓的半徑為：，外接圓半徑為；利用直角三角形的內(nèi)切圓的圓心是內(nèi)角平分線的交點作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解決本題的難點．