Question

已知：拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，-2）與y軸交于點(diǎn)C（0，-

3

2

），與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左邊）．
（1）求此拋物線的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)P是線段OB上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），點(diǎn)Q在線段BM上移動(dòng)且∠MPQ=45°，設(shè)線段OP=x，MQ=

2

2

y₁，求y₁與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）①在（2）的條件下是否存在點(diǎn)P，使△PQB是PB為底的等腰三角形，若存在試求點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在說明理由；
②在（1）中拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)F，使△BMF是等腰三角形，若存在直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=a（x-1）²-2，將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入即可得出答案；
（2）先證明△MPQ∽△MPB，根據(jù)相似的性質(zhì)列等式，求y₁與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）①假設(shè)存在滿足條件的P點(diǎn)，根據(jù)條件△PQB是PB為底的等腰三角形，作PB的垂直平分線交BM于Q，QP=QB．求出P點(diǎn)和Q點(diǎn)坐標(biāo)；②根據(jù)△BMF是等腰三角形，只要點(diǎn)F使得該三角形的兩邊相等即可．

解答：解：（1）∵拋物線的頂點(diǎn)為M（1，-2）可設(shè)y=a（x-1）²-2，
由點(diǎn)（0，-

3

2

）得：a-2=-

3

2

，
∴a=

1

2

．
∴

MP

MB

=

MQ

MP

，即y=

1

2

x2-x-

3

2

．

（2）在x₂=3中，由y=0，得

1

2

x2-x-

3

2

=0，
解得：x₁=-1，x₂=3，
∴A為（-1，0），B為（3，0）．
∵M(jìn)（1，-2），
∴∠MBO=45°，MB=2

2

，
∴∠MPQ=45°∠MBO=∠MPQ，
又∵∠M=∠M，
∴△MPQ∽△MPB，
∴

MP

MB

=

MQ

MP

，
∴MP2=MB?MQ，
即22+(x-1)2=2

2

•

2

2

y1，
∴y1=

1

2

(x-1)2+2（0≤x＜3）．

（3）①存在點(diǎn)Q，使QP=QB，即△PQB是以PB為底的等腰三角形，
作PB的垂直平分線交BM于Q，則QP=QB．
∴∠QPB=∠MBP=45°
又∵∠MPQ=45°，
∴此時(shí)MP⊥x軸，
∴P為（1，0），
∴PB=2．
∴Q的坐標(biāo)為（2，-1）．
②使△BMF是等腰三角形的F點(diǎn)有：
F₁（1，0），F(xiàn)₂（1，-2+2

2

），F(xiàn)₃（1，-2-2

2

），F(xiàn)₄（1，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的知識(shí)，是一道綜合題，有一定難度，注意對(duì)各部分知識(shí)的熟練掌握以便靈活應(yīng)用．