Question

在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，CD是斜邊AB上的高，點E在斜邊AB上，過點E作直線與△ABC的直角邊相交于點F，設(shè)AE＝x，△AEF的面積為y．

（1）求線段AD的長；

（2）若EF⊥AB，當(dāng)點E在線段AB上移動時，

①求y與x的函數(shù)關(guān)系式（寫出自變量x的取值范圍）

②當(dāng)x取何值時，y有最大值？并求其最大值；

（3）若F在直角邊AC上（點F與A、C兩點均不重合），點E在斜邊AB上移動，試問：是否存在直線EF將△ABC的周長和面積同時平分？若存在直線EF，求出x的值；若不存在直線EF，請說明理由．

 

Answer 1

 

（1）

（2）

①y= （＜x≤5）

②當(dāng)時，y的最大值為

（3）x=

解析:解：（1）∵AC=3，BC=4

∴AB=5

∵AC·BC=AB·CD，

∴CD=，AD=

（2）①當(dāng)0＜x≤時

∵EF∥CD

∴△AEF∽△ADC

∴

即EF=x

∴y=·x·x=

當(dāng)＜x≤5時，易得△BEF∽△BDC，同理可求EF=（5—x）

∴y=·x·（5—x）=≤

②當(dāng)0＜x≤時，y隨x的增大而增大.

y=≤,即當(dāng)x=時，y最大值為

  當(dāng)＜x≤5時，

        ∵

       ∴當(dāng)時，y的最大值為

      ∵＜

      ∴當(dāng)時，y的最大值為

（3）假設(shè)存在

    當(dāng)0＜x≤5時，AF=6—x

    ∴0＜6—x＜3

    ∴3＜x＜6

     ∴3＜x≤5

    作FG⊥AB與點G

    由△AFG∽△ACD可得

    ∴，即FG=

    ∴x·=

    ∴=3，即2x2-12x+5=0

    解之得x1=，x2=

    ∵3＜x1≤5

    ∴x1=符合題意

    ∵x2=＜3

    ∴x2不合題意，應(yīng)舍去

    ∴存在這樣的直線EF，此時，x=