Question

閱讀：Rt△ABC和Rt△DBE，AB=BC，DB=EB，D在AB上，連接AE，AC，如圖1
求證：AE=CD，AE⊥CD．
證明：延長(zhǎng)CD交AE于K
在△AEB和△CDB中
∵
∴△AEB≌△CDB（SAS）
∴AE=CD
∠EAB=∠DCB
∵∠DCB+∠CDB=90°
∠ADK=∠CDB
∴∠ADK+∠DAK=90°
∴∠ADK=90°
∴AE⊥CD
（2）類(lèi)比：若關(guān)系和位置關(guān)系還成立嗎？若成立，請(qǐng)給與證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．將（1）中的Rt△DBE繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角，如圖2所示，問(wèn)（1）中線(xiàn)段AE，CD間的數(shù)量；
（3）拓展：在圖2中，將“AB=BC，DB=EB”改成“BC=kAB，DB=kEB，k＞1”其它條件均不變，如圖3所示，問(wèn)（1）中線(xiàn)段AE，CD間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系還成立嗎？若成立，請(qǐng)給與證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（2）AE=CD，AE⊥CD，
∵∠DBE=∠ABC=90°，
∴∠ABE=∠DBC，
在△AEB和△CDB中，

∴△AEB≌△CDB，
∴AE=CD，∠EAB=∠DCB，
∵∠DCB+∠COB=90°，∠AOK=∠COB，
∴∠KOA+∠AOK=90°，
∴∠AKC=90°，
∴AE⊥CD；

（3）AE=CD，AE⊥CD，
∵BC=kAB，DB=kEB，
∴==，
∴=，
∵∠DBE=∠ABC=90°，
∴∠ABE=∠DBC，
∴△AEB∽△CDB，
∴==，∠EAB=∠DCB，
∴AE=CD，
∵k＞1，
∴AE≠CD，
∵∠DCB+∠COB=90°，∠AOK=∠COB，
∴∠KAO+∠AOK=90°，
∴∠AKC=90°，
∴AE⊥CD．
分析：（2）根據(jù)∠DBE=∠ABC=90°，得出∠ABE=∠DBC，再證出△AEB≌△CDB，AE=CD，∠EAB=∠DCB，再根據(jù)∠DCB+∠COB=90°，∠AOK=∠COB，得出∠KOA+∠AOK=90°，∠AKC=90°，即可證出AE⊥CD；
（3）根據(jù)BC=kAB，DB=kEB，得出=，根據(jù)∠DBE=∠ABC=90°，∠ABE=∠DBC，得出△AEB∽△CDB，==，∠EAB=∠DCB，AE=CD，再根據(jù)k＞1，得出AE≠CD，最后根據(jù)∠DCB+∠COB=90°，∠AOK=∠COB，得出∠KAO+∠AOK=90°，∠AKC=90°，即可證出AE⊥CD．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，用到的知識(shí)點(diǎn)是相似三角形、全等三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是能在較復(fù)雜的圖形中找出相似和全等的三角形．