【答案】
分析:(1)根據(jù)等腰三角形中有一角為60度時(shí)是等邊三角形得到△ACO是等邊三角形,∴∠AOC=60°
(2)由CP與⊙O相切,OC是半徑.得CP⊥OC∴∠P=90°-∠AOC=30°∴PO=2 CO=8
(3)如圖,當(dāng)S
△MAO=S
△CAO時(shí),動(dòng)點(diǎn)M的位置有四種.
①作點(diǎn)C關(guān)于直徑AB的對(duì)稱點(diǎn)M
1,連接AM
1,OM
1.
②過點(diǎn)M
1作M
1M
2∥AB交⊙O于點(diǎn)M
2,連接AM
2,OM
2,
③過點(diǎn)C作CM
3∥AB交⊙O于點(diǎn)M
3,連接AM
3,OM
3,
④當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到C時(shí),M與C重合,
求得每種情況的OM轉(zhuǎn)過的度數(shù),再根據(jù)弧長公式求得弧AM的長.
解答:解:(1)∵在△ACO中,∠OAC=60°,OC=OA
∴△ACO是等邊三角形∴∠AOC=60°.
(2)∵CP與⊙O相切,OC是半徑.
∴CP⊥OC,又∵∠OAC=∠AOC=60°,
∴∠P=90°-∠AOC=30°,
∴在Rt△POC中,CO=
PO=4,
則PO=2CO=8;
(3)如圖,(每找出一點(diǎn)并求出弧長得1分)
①作點(diǎn)C關(guān)于直徑AB的對(duì)稱點(diǎn)M
1,連接AM
1,OM
1.
易得S
△M1AO=S
△CAO,∠AOM
1=60°
∴
∴當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到M
1時(shí),S
△MAO=S
△CAO,
此時(shí)點(diǎn)M經(jīng)過的弧長為
.
②過點(diǎn)M
1作M
1M
2∥AB交⊙O于點(diǎn)M
2,連接AM
2,OM
2,易得S
△M2AO=S
△CAO.
∴∠AOM
1=∠M
1OM
2=∠BOM
2=60°
∴
或
∴當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到M
2時(shí),S
△MAO=S
△CAO,此時(shí)點(diǎn)M經(jīng)過的弧長為
.
③過點(diǎn)C作CM
3∥AB交⊙O于點(diǎn)M
3,連接AM
3,OM
3,易得S
△M3AO=S
△CAO∴∠BOM
3=60°,
∴
或
∴當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到M
3時(shí),S
△MAO=S
△CAO,此時(shí)點(diǎn)M經(jīng)過的弧長為
.
④當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到C時(shí),M與C重合,S
△MAO=S
△CAO,
此時(shí)點(diǎn)M經(jīng)過的弧長為
或
.
點(diǎn)評(píng):本題利用了等邊三角形的判定和性質(zhì),弧長公式,同底等高的三角形的面積相等的性質(zhì)求解.