Question

【題目】如圖，已知∠MON=30°，B為OM上一點(diǎn)，BA⊥ON于A，四邊形ABCD為正方形，P為射線BM上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)CP，將CP繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得CE，連結(jié)BE，若AB=4，則BE的最小值為 ．

Answer 1

【答案】2+2
【解析】解：如圖所示，
將BC繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得FC，作直線FE交OM于H，則∠BCF=90°，BC=FC，
∵將CP繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得CE，
∴∠PCE=90°，PC=EC，
∴∠BCP=∠FCE，
在△BCP和△FCE中，
，
∴△BCP≌△FCE（SAS），
∴∠CBP=∠CFE，
又∵∠BCF=90°，
∴∠BHF=90°，
∴點(diǎn)E在直線FH上，即點(diǎn)E的軌跡為直線FH，
∵BH⊥EF，
∴當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)H重合時(shí)，BE=BH最短，
∵當(dāng)CP⊥OM時(shí)，Rt△BCP中，∠CBP=30°，
∴CP= BC=2，BP= CP=2 ，
又∵∠PCE=∠CPH=∠PHE=90°，CP=CE，
∴正方形CPHE中，PH=CP=2，
∴BH=BP+PH=2 +2，
即BE的最小值為2 +2，
故答案為：2 +2．
先將BC繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得FC，作直線FE交OM于H，則∠BCF=90°，BC=FC，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，即可得到△BCP≌△FCE（SAS），進(jìn)而得出∠BHF=90°，據(jù)此可得點(diǎn)E在直線FH上，即點(diǎn)E的軌跡為直線FH，再根據(jù)當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)H重合時(shí)，BE=BH最短，求得BH的值即可得到BE的最小值．