Question

如圖1，A、B是直線a上的兩個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)C、D在直線b上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)），AB=CD=4cm．已知a∥b，a、b間的距離為cm．連接AC、BD、BC，把△ABC沿直線BC翻折得△A₁BC．當(dāng)A₁、D兩點(diǎn)不重合時(shí)，連接A₁D．
（1）探究A₁D與BC的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）如圖2，若四邊形A₁CBD是矩形，求AC的長(zhǎng)．

Answer 1

解：（1）設(shè)A₁B、CD相交于點(diǎn)O．
由翻折可知：∠2=∠6，
∵a∥b，
∴∠4=∠6，
∴∠2=∠4，
∴OC=OB，
∵AB=A₁B=CD，
∴A₁O=DO，
∴∠1=∠5，
∵∠1+∠5=∠2+∠4=∠BOD，
∴2∠1=2∠2，即∠1=∠2，
∴A₁D∥BC；

（2）如圖2，過點(diǎn)C作CE⊥AB，垂足為點(diǎn)E，
∵四邊形A₁CBD是矩形，
∴∠ACB=∠A₁CB=90°，
∵CE⊥AB于點(diǎn)E，
∴Rt△ACE∽R(shí)t△CBE，
∴．
即CE²=AE×BE，（直接用射影定理亦可），
設(shè)AE=x，則，
解得x₁=1，x₂=3．
∴當(dāng)x₁=1時(shí)，AC=2；
當(dāng)x₂=3時(shí)，AC=．
分析：（1）解題的基本思路是通過觀察，猜想A₁D∥BC，然后尋找內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角和同位角，再根據(jù)平行線的判定，即可得出A₁D和BC的關(guān)系；
（2）作CE⊥AB，設(shè)AE為x，利用射影定理即可求出AC的值．
點(diǎn)評(píng)：此題是一道動(dòng)點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵是找到運(yùn)動(dòng)中的不變量．此類題目難度較大，需要同學(xué)們有較強(qiáng)的分析問題的能力．