Question

閱讀理解：
對于任意正實(shí)數(shù)a，b，∵(

a

-

b

)2≥0，∴a-2

ab

+b≥0，∴a+b≥2

ab

，只有點(diǎn)a=b時，等號成立．
結(jié)論：在a+b≥2

ab

（a，b均為正實(shí)數(shù)）中，若ab為定值p，則a+b≥2

p

，只有當(dāng)a=b時，a+b有最小值2

p

．
根據(jù)上述內(nèi)容，回答下列問題：
（1）若m＞0，只有當(dāng)m=

 

時，m+

1

m

有最小值

 

；
（2）思考驗證：
①如圖1，AB為半圓O的直徑，C為半圓上任意一點(diǎn)，（與點(diǎn)A，B不重合）．過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，AD=a，DB=b．試根據(jù)圖形驗證a+b≥2

ab

，并指出等號成立時的條件；
②探索應(yīng)用：如圖2，已知A（-3，0），B（0，-4）P為雙曲線y=

12

x

(x＞0)上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PC⊥x軸于點(diǎn)C，PD⊥y軸于點(diǎn)D．求四邊形ABCD面積的最小值，并說明此時四邊形ABCD的形狀．

Answer 1

分析：（1）由題意得，兩個正數(shù)相加，只有在相等的情況下，才有最小值，而倒數(shù)等于它本身的正數(shù)只有1；
（2）①由點(diǎn)D所在的不同位置，利用a和b所在的三角形相似來求得相應(yīng)的關(guān)系；
②應(yīng)根據(jù)對角線互相垂直的四邊形的面積的求法以及設(shè)出的點(diǎn)P的坐標(biāo)來得到相應(yīng)結(jié)論．

解答：解：（1）關(guān)鍵題意得m=1（填

1

m

不扣分），最小值為2；

（2）①∵AB是⊙O的直徑，
∴AC⊥BC，
又∵CD⊥AB，
∴∠CAD=∠BCD=90°-∠B，
∴Rt△CAD∽Rt△BCD，
∴CD²=AD•DB，
∴CD=

ab

，
若點(diǎn)D與O不重合，連OC，
在Rt△OCD中，∵OC＞CD，
∴

a+b

2

＞

ab

，
若點(diǎn)D與O重合時，OC=CD，
∴

a+b

2

=

ab

，
綜上所述，

a+b

2

≥

ab

，即a+b≥2

ab

，當(dāng)CD等于半徑時，等號成立；
②探索應(yīng)用：設(shè)P（x，

12

x

），
則C（x，0），D（0，

12

x

），CA=x+3，DB=

12

x

+4，
∴S_{四邊形ABCD}=

1

2

CA×DB=

1

2

（x+3）×（

12

x

+4），
化簡得：S=2（x+

9

x

）+12，
∵x＞0，

9

x

＞0，
∴x+

9

x

≥2

x× 9 x

=6，
只有當(dāng)x=

9

x

，即x=3時，等號成立．
∴S≥2×6+12=24，
∴S_{四邊形ABCD}有最小值24，
此時，P（3，4），C（3，0），D（0，4），AB=BC=CD=DA=5，
∴四邊形ABCD是菱形．

點(diǎn)評：此題利用了正數(shù)中倒數(shù)等于它本身的正數(shù)只有1解決問題．在后面的問題中注意使用圓中所給線段所在三角形的相似以及特殊四邊形的面積的求法．