Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是-1，3 （點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)M在直線y=3x-7上．
（1）求拋物線的解析式；
（2）P為線段BM上一點(diǎn)，過點(diǎn)P向x軸引垂線，垂足為Q．若點(diǎn)P在線段BM上運(yùn)動（點(diǎn)P不與點(diǎn)B、M重合），設(shè)OQ的長為t，四邊形PQAC的面積為S．求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量t的取值范圍；
（3）在線段BM上是否存在點(diǎn)N，使△NMC為等腰三角形？若存在，請求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由題意可知：拋物線的對稱軸為x=1．
當(dāng)x=1時，y=3x-7=-4，
因此拋物線的頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，-4）．
過A（-1，0），B（3，0）
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-1）²-4，
則有：a（3-1）²-4=0，a=1．
則拋物線的解析式為：y=x²-2x-3．

（2）根據(jù)（1）的拋物線可知：A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3）；
易知直線BM的解析式為y=2x-6；
∵當(dāng)x=t時，y=2t-6；
∴PQ=6-2t；
∴S_{四邊形PQAC}=S_梯形QPCO+S_△AOC=×（3+6-2t）×t+×3，即S_{四邊形PQAC}=-t²+t+（1＜t＜3）．

（3）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)N，使△NMC為等腰三角形．
∵點(diǎn)N在BM上，設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為（m，2m-6），則CM²=1²+1²=2，CN²=m²+[-3-（2m-6）]²，或CN²=m²+[（2m-6）+3]²．
MN²=（m-1）²+[4-（6-2m）]²．△NMC為等腰三角形，有以下三種可能：
①若CN=CM，則m²+[（6-2m）-3]²=2，
解得m₁=，m₂=1（舍去）．
則N（）．
②若MC=MN，則（m-1）²+[4-（6-2m）]²=1²+1²．
解得m=1±．
∵1＜m＜3，
∴m=1-舍去．
∴N（1+）．
③若NC=NM，則m²+[3-（6-2m）]²=（m-1）²+[4-（6-2m）]²．
解得m=2．
則N（2，-2）．
故存在這樣的點(diǎn)N，使△NMC為等腰三角形．且點(diǎn)N的坐標(biāo)分別為：，N₃（2，-2）．
分析：（1）根據(jù)拋物線與x的兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)可以推知該拋物線的對稱軸方程x=1，結(jié)合該拋物線的頂點(diǎn)在直線y=3x-7上可以求得該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1，-4）．故可設(shè)該拋物線的解析式為頂點(diǎn)式方程y=a（x-1）²-4；最后利用待定系數(shù)法可求該拋物線的解析式；
（2）由（1）中的拋物線解析式可以求得點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；根據(jù)B、M兩點(diǎn)的坐標(biāo)可以求得直線BM的解析式y(tǒng)=2x-6；由該解析式可以求得PQ=6-2t；最后圖形可知
S_{四邊形PQAC}=S_梯形QPCO+S_△AOC；
（3）利用反證法解答：假設(shè)存在這樣的點(diǎn)N，使△NMC為等腰三角形．利用兩點(diǎn)間的距離公式分別求得CM、CN、MN的值；然后分類討論：①M(fèi)N為底；②CN為底；③CM為底時所求得的點(diǎn)N的坐標(biāo)．
點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)綜合題．注意：△NMC為等腰三角形時，需要分三種情況進(jìn)行討論，以防漏解．