Question

如圖，四邊形OABC為直角梯形，A（4，0）、B（3，4）、C（0，4），點M從O出發(fā)以每秒2個單位的速度向A運動，點N從B同時出發(fā)以每秒1個單位的速度向C運動，其中一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止運動，過點N作NP⊥x軸于點P，連接AC交NP于Q，連接MQ、設運動時間為t秒，
（1）求AC所在直線的解析式；
（2）請用含t的代數(shù)式直接寫出點Q的坐標；
（3）試寫出△AQM的面積S與時間t的函數(shù)關系式，并求出其最大面積；
（4）是否存在點M，使△AQM為直角三角形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設AC所在直線的解析式為：y=kx+b（k≠0），知道直線上兩點可以求出k、b，
（2）點N從B同時出發(fā)以每秒1個單位的速度向C運動，且NP⊥x軸，又知OA=OC，可知NC=NQ，故能知道Q點坐標，
（3）由三角形面積公式直接寫出含有t的二次函數(shù)關系式，求最值，
（4）分類討論直角三角形的直角頂點，然后解出t，求得M坐標．

解答：解：（1）設AC所在直線的解析式為：y=kx+b（k≠0）．
由

4k+b=0 b=4

，
解得

k=-1 b=4

．
∴AC所在直線的解析式為：y=-x+4．（3分）

（2）點Q（3-t，t+1）．（5分）

（3）S△AQM=

1

2

(4-2t)(t+1)=-t2+t+2=-(t-

1

2

)2+

9

4

．（7分）
當t=

1

2

時，S最大值=

9

4

．（8分）

（4）存在使△AQM為直角三角形的點M．（9分）
∵∠AOC=90°，OA=OC，
∴∠OAC=45°
即點A不可能為Rt△AQM的直角頂點．（9分）
①當點Q為直角頂點時．（如圖①）
∵∠MQA=90°，∠MAQ=45°，
∴MQ=QA
∵QP⊥AM∴AP=MP=PQ
即

4-2t

2

=t+1，
∴t=

1

2

則M（1，0）．（10分）
②當點M為直角頂點時．（如圖②）
∵∠QMA=90°，∠MAQ=45°，
∴MQ=MA
即4-2t=t+1，
∴t=1，則M（2，0）．（11分）
綜上所述：點M的坐標為（1，0）或（2，0）．（12分）

點評：本題主要考查二次函數(shù)的最值等知識點，結(jié)合圖形的面積，滲透分類討論的思想，使問題綜合性增強．