Question

已知拋物線y=x²-2ax+a² （a為常數(shù)，a＞0），G為該拋物線的頂點(diǎn)．
（1）如圖1，當(dāng)a=2時(shí)，拋物線與y軸交于點(diǎn)M，求△GOM的面積；
（2）如圖2，將拋物線繞頂點(diǎn)G逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，所得新圖象與y軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的上方），D為x軸的正半軸上一點(diǎn)，以O(shè)D為一對角線作平行四邊形OQDE，其中Q點(diǎn)在第一象限．QE交OD于點(diǎn)C，若QO平分∠AQC，AQ=2QC．
①求證：△AQO≌△EQO；
②若QD=OG，試求a的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，再把拋物線解析式整理成頂點(diǎn)式形式，然后求出點(diǎn)G的坐標(biāo)，從而得到OM、OG，然后根據(jù)三角形的面積公式列式計(jì)算即可得解；
（2）①根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分可得OC=CE=QE，然后求出AQ=EQ，再根據(jù)角平分線的定義可得∠AQO=∠EQO，然后利用“邊角邊”證明△AQO和△EQO全等；
②根據(jù)平行四邊形的對邊相等可得OE=QD，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得OA=OE，從而得到點(diǎn)A的坐標(biāo)，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)前的坐標(biāo)，然后代入拋物線解析式進(jìn)行計(jì)算即可求出a的值．
解答：解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，令x=0，則y=a²=4，
∴點(diǎn)M（0，4），
∵y=x²-2ax+a²=（x-a）²，
∴當(dāng)a=2時(shí)，頂點(diǎn)G（2，0），
∴OM=4，OG=2，
S_△GOM=OM•OG=×4×2=4；

（2）①∵四邊形OQDE為平行四邊形，
∴OC=CE=QE，
又∵AQ=2QC，
∴AQ=EQ，
∵QO平分∠AQC，
∴∠AQO=∠EQO，
∵在△AQO和△EQO中，
，
∴△AQO≌△EQO（SAS）；

②∵由題意知G（a，0），
∴OG=a，
∵QD=OG，
∴QD=a，
∵四邊形OQDE為平行四邊形，
∴OE=QD=a，
又∵△AOQ≌△EOQ，
∴OA=OE=a，
即A（0，a），
由旋轉(zhuǎn)知，旋轉(zhuǎn)前拋物線點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2a，a），
把（2a，a）代入y=x²-2ax+a²得，4a²-2a•a+a²=a，
即a²=a，
解得a=1或0，
∵a為常數(shù)，a＞0
∴a=0不合題意，舍去，
∴a=1．
點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了二次函數(shù)與y軸的交點(diǎn)的求解，頂點(diǎn)坐標(biāo)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的對邊相等，以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，（2）中求出點(diǎn)A的坐標(biāo)以及旋轉(zhuǎn)前的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．