Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，點H是邊BC上一點（不與點B、點C重合）．連接DH交正方形對角線AC于點E，過點E作DH的垂線交線段AB、CD于點F、G．延長FG與BC的延長線交于點P，連接DF、DP、FH．

（1）∠FDH=______°；DF與DP的位置關系是______，DF與DP的大小關系是______；

（2）在（1）的結論下，若AD=4，求△BFH的周長；

（3）在（1）的結論下，若BP=8，求AE的長．

Answer 1

【答案】（1）45，DF⊥DP，DF=DP；（2）△BFH的周長= 8；（3）AE=4．

【解析】

（1）取DF的中點K，連接AK，EK．想辦法證明A，F，E，D四點共圓，推出∠DFE=∠DAE=45°，取PD中點N，連接EN，NC，同法可證：NE=NC=NP=ND，推出D，E，C，P四點共圓，推出∠DPE=∠DCE=45°，可得∠PDF=90°，△DFP是等腰直角三角形，即可解決問題；

（2）只要證明Rt△DAF≌Rt△DCF（HL），推出AF=CP，再證明FH=PH，即可推出△BFH的周長=BF+BH+FH=BF+BH+HP=BF+BH+CH+CP=BF+BC+AF=BC+AB=2AB=2AD；

（3）如圖2中，作EM⊥AE交AD的延長線于M，連接PM．想辦法證明BP=AM，AM=AE即可解決問題；

解：（1）取DF的中點K，連接AK，EK．

∵DH⊥FP，

∴∠DEF=90°，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠DAF=∠BCD=∠DCP=90°，∠DAC=∠DCA=45°，

∵FK=KD，

∴KA=KF=KD=KE，

∴A，F，E，D四點共圓，

∴∠DFE=∠DAE=45°，

取PD中點N，連接EN，NC，同法可證：NE=NC=NP=ND，

∴D，E，C，P四點共圓，

∴∠DPE=∠DCE=45°，

∴∠PDF=90°，△DFP是等腰直角三角形，

∴DF=DP，DF⊥DP，

∵DE⊥PF，

∴∠FDE=∠PDE=∠PDF=45°，

故答案為45，DF⊥DP，DF=DP．

（2）∵AD=DC，DF=DP，∠DAF=∠DCP=90°，

∴Rt△DAF≌Rt△DCF（HL），

∴AF=CP

∵DF=DP，DE⊥PF，

∴EF=PE，

∴FH=PH，

∴△BFH的周長=BF+BH+FH=BF+BH+HP=BF+BH+CH+CP=BF+BC+AF=BC+AB=2AB=2AD=8．

（3）如圖2中，作EM⊥AE交AD的延長線于M，連接PM．

∵△DFE，△AEM都是等腰直角三角形，

∴EF=ED，EA=EM，

∵∠AEM=∠FED=90°，

∴∠AEF=∠DEM，

∴△AEF≌△MED（SAS），

∴AF=DM，

∵AF=PC，

∴DM=PC，

∵DM∥PC，∠DCP=90°，

∴四邊形DCPM是矩形，四邊形ABPM是矩形，

∴AM=BP，

∵AM=AE，

∴BP=AE，

∵PB=8，

∴AE=4．