Question

（2013•邵東縣模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，如圖所示，△AOB是邊長為2的等邊三角形，將△AOB繞著點(diǎn)B按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到△DCB，使得點(diǎn)D落在x軸的正半軸上，連接OC，AD．
（1）求證：OC=AD；
（2）求OC的長；
（3）求過A、D兩點(diǎn)的直線的解析式．

Answer 1

分析：（1）利用△DCB是由△AOB繞著點(diǎn)B按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到的，得出△DCB也是邊長為2的等邊三角形，進(jìn)而求出△OBC≌△ABD即可得出答案；
（2）作CF⊥OD交x軸于點(diǎn)F．由勾股定理得：CF²=BC²-BF²，求出CF，進(jìn)而得出CO．
（3）首先求出A，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得出直線AD的解析式即可．

解答：解：（1）∵△AOB是邊長為2的等邊三角形，
∴OA=OB=AB=2，∠AOB=∠BAO=∠OBA=60°，
又△DCB是由△AOB繞著點(diǎn)B按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到的，
∴△DCB也是邊長為2的等邊三角形，
∴∠OBA=∠CBD=60°，OB=AB，BC=BD，
又∠OBC=∠OBA+∠ABC=∠CBD+∠ABC=∠ABD
∴△OBC≌△ABD（SAS），
∴OC=AD（全等三角形的對應(yīng)邊相等），

（2）如圖1，作CF⊥OD交x軸于點(diǎn)F，則F為BD的中點(diǎn)，
∴BF=1，
在Rt△BCF中，BC=2，BF=1，
由勾股定理得：CF²=BC²-BF²=4-1=3，
CF=

3

，
在Rt△OCF中，OF=OB+BF=2+1=3，
由勾股定理得：OC²=OF²+CF²=9+3=12，
∴OC=

12

=2

3

；

（3）作AE⊥OB交x軸于點(diǎn)E，則E為OB的中點(diǎn)，
∴OE=1，AE=CF=

3

，
∴A點(diǎn)的坐標(biāo)是（1，

3

）又OD=OB+BD=2+2=4，
故D點(diǎn)的坐標(biāo)是（4，0）．
設(shè)過A、D兩點(diǎn)的直線的解析式為y=kx+b，將A，D點(diǎn)的坐標(biāo)代入得：
 

k+b= 3 4k+b=0

，
解得：

k=- 3 3 b= 4 3 3

，
∴過A、D兩點(diǎn)的直線的解析式為y=-

3

3

x+

4 3

3

．

點(diǎn)評：此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，正確利用圖形上點(diǎn)的坐標(biāo)得出解析式是解題關(guān)鍵．