(2008•達州)如圖,將△AOB置于平面直角坐標系中,其中點O為坐標原點,點A的坐標為(3,0),∠ABO=60度.
(1)若△AOB的外接圓與y軸交于點D,求D點坐標.
(2)若點C的坐標為(-1,0),試猜想過D,C的直線與△AOB的外接圓的位置關系,并加以說明.
(3)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點O和A且頂點在圓上,求此函數(shù)的解析式.

【答案】分析:(1)∠ABO=60°則∠ADO=60°,在直角△AOD中,根據(jù)三角函數(shù)就可以求出OD的長,則可以求出D的坐標.
(2)若點C的坐標為(-1,0),在直角△CDO中,根據(jù)三角函數(shù)就可以求出∠CDO的度數(shù).進而得到∠CDA的度數(shù).從而判斷過D,C的直線與△AOB的外接圓的位置關系.
(3)函數(shù)經(jīng)過O,A兩點,因而對稱軸是OA的垂直平分線與圓的交點,過交點作OA的垂線,利用三角函數(shù),就可以求出OA的垂直平分線與圓的交點的坐標,再根據(jù)待定系數(shù)法就可以求出函數(shù)的解析式.
解答:解:(1)連接AD,則∠ADO=∠B=60°,
在Rt△ADO中,∠ADO=60°,
所以OD=OA÷=3÷=
所以D點的坐標是(0,);

(2)猜想:CD與圓相切,
∵∠AOD是直角,
∴AD是圓的直徑,
又∵tan∠CDO===,∠CDO=30°,
∴∠CDA=∠CDO+∠ADO=90°,即CD⊥AD,
∴CD切外接圓于點D;

(3)依題意可設二次函數(shù)的解析式為:
y=α(x-0)(x-3),
由此得頂點坐標的橫坐標為:x==;
即頂點在OA的垂直平分線上,作OA的垂直平分線EF,
則得∠EFA=∠B=30°,
即得到EF=EA=可得一個頂點坐標為(,),
同理可得另一個頂點坐標為(,),
分別將兩頂點代入y=α(x-0)(x-3)
可解得α的值分別為,,
則得到二次函數(shù)的解析式是y=x(x-3)或y=x(x-3).
點評:本題是二次函數(shù)與圓相結合的題目,主要考查了切線的判定方法,待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式.
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