Question

如圖，△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，PQ∥AB，點(diǎn)P在AC上（與點(diǎn)A、C不重合），點(diǎn)Q在BC上．試問(wèn)：在AB上是否存在點(diǎn)M，使△PQM為等腰直角三角形？若存在，求PQ的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：由于PQ的位置是變化的，故可以使△PQM為等腰直角三角形，設(shè)PC=x，當(dāng)△PQM為等腰直角三角形時(shí)，有三種情況：
1、當(dāng)∠MPQ為直角時(shí)，可得到PM=PQ=x，而在△ABC中，而在△PMA中，建立方程可求得x的值，從而求得PQ的值．
2、若∠MQP為直角，與1類似；
3、當(dāng)∠PMQ為直角時(shí)，則可得PQ=MQ=，過(guò)P作PN⊥AB于N，易得，即可求得PQ的值．
解答：解：AC=8，BC=6，由勾股定理得：AB=10，
設(shè)PC=x，
∵PQ∥AB，
∴=，
∵PC=x，BC=10，AC=8，代入可求出，
∵△PQM為等腰直角三角形，
∴討論哪個(gè)角為直角如下：
（1）當(dāng)∠MPQ（2分）為直角時(shí)，則可得（3分），
∴，（4分）
在△ABC中，而在△PMA中，
∴得，從而．（若∠MQP為直角類似）（5分）

（2）當(dāng)∠PMQ為直角時(shí)，則可得PM=MQ=，
過(guò)P作PN⊥AB于N，
易得，
同（1）得
∴．（10分）
點(diǎn)評(píng)：本題利用了等腰直角三角形的性質(zhì)，正弦的概念求解．