【題目】【問(wèn)題】如圖①,在△ABC中,BE平分∠ABC,CE平分∠ACB,若∠A=80°,則∠BEC=__ __;若∠A=n°,則∠BEC=__ _.
【探究】
(1)如圖②,在△ABC中,BD,BE三等分∠ABC,CD,CE三等分∠ACB.若∠A=n°,則∠BEC=____;
(2)如圖③,O是∠ABC與外角∠ACD的平分線BO和CO的交點(diǎn),試分析∠BOC和∠A有怎樣的關(guān)系?請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)如圖④,O是外角∠DBC與外角∠BCE的平分線BO和CO的交點(diǎn),則∠BOC與∠A有怎樣的關(guān)系?(只寫結(jié)論,不需證明)
【答案】問(wèn)題:130°,90°+n°探究:(1)60°+n°(2)∠BOC=∠A. (3)∠BOC=90°-∠A
【解析】試題分析:?jiǎn)栴}:利用三角形的內(nèi)角和等于180°求出∠ABC+∠ACB,再利用角平分線的定義求出∠EBC+∠ECB,然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°列式計(jì)算即可得解;將∠A的度數(shù)換成n°,然后求解即可;
探究:(1)利用三角形的內(nèi)角和等于180°求出∠ABC+∠ACB,再利用三等分角求出∠EBC+∠ECB,然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°列式計(jì)算即可得解;
(2)根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和表示出∠ACD和∠OCD,再根據(jù)角平分線的定義可得∠ABC=2∠OBC,∠ACD=2∠OCD,然后整理即可得解;
(3)根據(jù)平角的定義以及角平分線的定義表示出∠OBC和∠OCB,然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式表示出∠BOC,然后整理即可得解.
試題解析:【問(wèn)題】解:∵∠A=80°,
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-80°=100°,
∵BE平分∠ABC,CE平分∠ACB,
∴∠EBC=∠ABC,∠ECB=∠ACB,
∴∠EBC+∠ECB=(∠ABC+∠ACB)=×100°=50°,
∴∠BEC=180°-(∠EBC+∠ECB)=180°-50°=130°;
由三角形的內(nèi)角和定理得,∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-n°,
∵BE平分∠ABC,CE平分∠ACB,
∴∠EBC=∠ABC,∠ECB=∠ACB,
∴∠EBC+∠ECB=(∠ABC+∠ACB)=×(180°-n°)=90°-n°,
∴∠BEC=180°-(∠EBC+∠ECB)=180°-(90°-n°)=90°+n°;
探究:解:(1)由三角形的內(nèi)角和定理得,∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-n°,
∵BD,BE三等分∠ABC,CD,CE三等分∠ACB,
∴∠EBC=∠ABC,∠ECB=∠ACB,
∴∠EBC+∠ECB=(∠ABC+∠ACB)=×(180°-n°)=120°-n°,
∴∠BEC=180°-(∠EBC+∠ECB)=180°-(120°-n°)=60°+n°;
(2)∠BOC=∠A.
理由如下:由三角形的外角性質(zhì)得,∠ACD=∠A+∠ABC,
∠OCD=∠BOC+∠OBC,
∵O是∠ABC與外角∠ACD的平分線BO和CO的交點(diǎn),
∴∠ABC=2∠OBC,∠ACD=2∠OCD,
∴∠A+∠ABC=2(∠BOC+∠OBC),
∴∠A=2∠BOC,
∴∠BOC=∠A;
(3)∵O是外角∠DBC與外角∠BCE的平分線BO和CO的交點(diǎn),
∴∠OBC=(180°-∠ABC)=90°-∠ABC,∠OCB=(180°-∠ACB)=90°-∠ACB,
在△OBC中,∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-(90°-∠ABC)-(90°-∠ACB)=(∠ABC+∠ACB),
由三角形的內(nèi)角和定理得,∠ABC+∠ACB=180°-∠A,
∴∠BOC=(180°-∠A)=90°-∠A.
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