Question

如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90°，分別以AB、BC為邊在三角形外作等邊三角形ABD和BCE，連接AE和DC相交于點(diǎn)M，試判斷AE和DC的數(shù)量關(guān)系，說(shuō)明理由，并求出∠CME的度數(shù)．

Answer 1

解：AE=DC．理由如下：
∵△ABD和△BCE都是等邊三角形，
∴AB=AD，BC=BE，∠ABD=∠CBE=∠BCE=∠BEC=60°，
∴∠DBC=∠ABE，
在△ABE和△DBC中，

∴△ABE≌△DBC（SAS），
∴AE=DC，∠AEB=∠DCB，
在△MCE中，∠CME+∠MCE+∠MEC=180°，
即∠CME+（∠DCB+60°）+（60°-∠AEB）=180°，
∴∠CME=60°．
分析：根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AB=AD，BC=BE，∠ABD=∠CBE=∠BCE=∠BEC=60°，則∠DBC=∠ABE，利用“SAS”可判斷△ABE≌△DBC，所以AE=DC，∠AEB=∠DCB，而∠CME+∠MCE+∠MEC=180°，即∠CME+（∠DCB+60°）+（60°-∠AEB）=180°，然后計(jì)算可得到∠CME的度數(shù)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等．也考查了等邊三角形的性質(zhì)．