Question

如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y=-x²+bx+c經過點A（0，1）、B（3，）兩點，BC⊥x軸，垂足為C．點P是線段AB上的一動點（不與A，B重合），過點P作x軸的垂線交拋物線于點M，設點P的橫坐標為t．
（1）求此拋物線的函數(shù)表達式；
（2）連結AM、BM，設△AMB的面積為S，求S關于t的函數(shù)關系式，并求出S的最大值；
（3）連結PC，當t為何值時，四邊形PMBC是菱形？

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=-x²+bx+c經過點A（0，1）、B（3，）兩點，
∴，
解得：，
∴拋物線解析式為：；

（2）∵設點P的橫坐標為t，
∴M點坐標為：（t，-t²+t+1），
設直線AB的解析式為：y=kx+b，
則，
解得：，
∴直線AB的解析式為：y=x+1，
∵P點在直線AB上，點P的橫坐標為t，
∴P點的縱坐標為：t+1，
∴MP=-t²+t+1-t-1=-t²+t，
∴S_△AMB=S_△AMP+S_△BMP=×（-t²+t）×t+×（-t²+t）×（3-t）
=-t²+t，
當，；

（3）t=1時，四邊形PMBC為菱形．
理由：∵BC∥PM，當BC=MP時，四邊形MPCB是平行四邊形，
當BC=PC時，平行四邊形PMBC是菱形，
∵B（3，），
∴BC=，即MP=PC==-t²+t，
解得：t₁=1，t₂=2，
PC==，
解得：t₁=1，t₂=3，
只有同時滿足兩個方程才可以，
故t=1．此時四邊形PMBC為菱形．
分析：（1）利用待定系數(shù)法將A，B點代入求出即可；
（2）首先求出直線AB的解析式，進而用t表示出P以及M點坐標，再利用S_△AMB=S_△AMP+S_△BMP求出即可，結合二次函數(shù)最值求法得出答案；
（3）利用菱形的判定以及勾股定理和一元二次方程的解法得出t的值，進而得出符合條件的值．
點評：此題主要考查了菱形的判定以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和二次函數(shù)最值求法等知識，利用數(shù)形結合得出MP=PC時t的值是解題關鍵．