Question

（2010•湛江）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-3，-4），線段OB繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與x軸的正半軸重合，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A．
（1）直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)，并求出經(jīng)過A，O，B三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（2）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)C，使BC+OC的值最小？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）如果點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在x軸的上方，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△PAB的面積最大？求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)和△PAB的最大面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先求出OB的長，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知OB=OA，即可得到A點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法即可求得該拋物線的解析式；
（2）由于O、A關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，若連接AB，則AB與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為所求的C點(diǎn)，可先求出直線AB的解析式，聯(lián)立拋物線對(duì)稱軸方程即可求得C點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）可過P作y軸的平行線，交直線AB于M；可設(shè)出P點(diǎn)的橫坐標(biāo)（根據(jù)P點(diǎn)的位置可確定其橫坐標(biāo)的取值范圍），根據(jù)拋物線和直線AB的解析式，可表示出P、M的縱坐標(biāo)，即可得到PM的長，以PM為底，A、B縱坐標(biāo)差的絕對(duì)值為高即可得到△PAB的面積，從而得出關(guān)于△PAB的面積與P點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)及自變量的取值范圍，即可求得△PAB的最大面積及對(duì)應(yīng)的P點(diǎn)坐標(biāo)．
解答：解：（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)（5，0），
設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx，
∴，
∴，，
∴；

（2）由于A、O關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，連接AB，
則AB與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為所求的C點(diǎn)；
易求得直線AB的解析式為：y=x-，
拋物線的對(duì)稱軸為=，
當(dāng)x=時(shí)，y=×-=-；
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，-）；

（3）過P作直線PM∥y軸，交AB于M，
設(shè)P（x，-x²+x），則M（x，x-），
∴PM=-x²+x-（x-）=-x²+x+，
∴△PAB的面積：S=S_△PAM+S_△PBM
=PM•（5-）+PM•（+3）
=×（-x²+x+）×（5+3）
=-x²+x+10
=-（x-1）²+，
所以當(dāng)x=1，即P（1，）時(shí)，△PAB的面積最大，且最大值為．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、最短路徑問題、函數(shù)圖象交點(diǎn)以及圖形面積的求法等重要知識(shí)點(diǎn)，能夠?qū)�圖形面積問題轉(zhuǎn)換為二次函數(shù)的最值問題是解決（3）題的關(guān)鍵．