Question

已知：關(guān)于x的一元二次方程mx²-（2m+n）x+m+n=0①．
（1）求證：方程①有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）求證：方程①有一個(gè)實(shí)數(shù)根為1；
（3）設(shè)方程①的另一個(gè)根為x₁，若m+n=2，m為正整數(shù)且方程①有兩個(gè)不相等的整數(shù)根時(shí)，確定關(guān)于x的二次函數(shù)y=mx²-（2m+n）x+m+n的解析式；
（4）在（3）的條件下，把Rt△ABC放在坐標(biāo)系內(nèi)，其中∠CAB=90°，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（1，0）、（4，0），BC=5，將△ABC沿x軸向右平移，當(dāng)點(diǎn)C落在拋物線上時(shí)，求△ABC平移的距離．

Answer 1

分析：（1）首先表示出方程①的根的判別式，若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，那么判別式應(yīng)大于等于0，結(jié)合非負(fù)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行證明即可．
（2）可利用十字相乘法將方程左邊進(jìn)行因式分解，即可得到方程必有一根為1．
（3）由（2）可得x₁的表達(dá)式，即x₁=

m+n

m

，若m+n=2，且x₁為整數(shù)，那么m可取1或2，然后結(jié)合（1）（2）的結(jié)論將不合題意的m值舍去，即可確定m的值，進(jìn)而可得拋物線的解析式．
（4）首先根據(jù)已知條件確定出點(diǎn)C的坐標(biāo)；然后設(shè)出平移后的點(diǎn)C坐標(biāo)，由于此時(shí)C點(diǎn)位于拋物線的圖象上，可將其代入拋物線的解析式中，即可確定出平移后的點(diǎn)C坐標(biāo)，進(jìn)而可得平移的距離．

解答：證明：（1）∵a=m，b=-（2m+n），c=m+n
∴△=b²-4ac=[-（2m+n）]²-4m（m+n）
=4m²+4mn+n²-4m²-4mn
=n²（1分）
∵無論n取何值時(shí)，都有n²≥0
∴△≥0
∴方程①有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．（2分）

（2）∵原方程可化為：（mx-m-1）（x-1）=0，（3分）
∴x1=

m+n

m

，x2=1；
∴方程①有一個(gè)實(shí)數(shù)根為1．（4分）

（3）由題意可知：方程①的另一個(gè)根為x1=

m+n

m

，
∵m+n=2，m為正整數(shù)且方程①有兩個(gè)不相等的整數(shù)根，
∴m=1，
∴二次函數(shù)的解析式：y=x²-3x+2．（5分）

（4）由題意可知：AB=3，
由勾股定理得：AC=4
∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，4）
當(dāng)△ABC沿x軸向右平移，此時(shí)設(shè)C點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，4）（6分）
∵C在拋物線上，
∴

4=a2-3a+2 a2-3a-2=0

，
∴a=

3± 17

2

，舍去負(fù)值，
∴a=

3+ 17

2

；
∴△ABC平移的距離：

3+ 17

2

-1=

1+ 17

2

．（7分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系、根的判別式、二次函數(shù)解析式的確定以及函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，難度適中．