Question

如圖，在△ABC中，BE是它的角平分線，∠C=90°，D在AB邊

上，以DB為直徑的半圓O經(jīng)過點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F．

（1）求證：AC是⊙O的切線；

（2）已知sinA=，⊙O的半徑為4，求圖中陰影部分的面積．

 

Answer 1

 解：（1）連接OE．

∵OB=OE    ∴∠OBE=∠OEB                                        

∵BE是△ABC的角平分線    ∴∠OBE=∠EBC

∴∠OEB=∠EBC    ∴OE∥BC                                             

∵∠C=90°    ∴∠AEO=∠C=90°                                     

∴AC是⊙O的切線；       

（2）連接OF．

∵sinA=，∴∠A=30°          ∵⊙O的半徑為4，∴AO=2OE=8，

∴AE=4，∠AOE=60°，∴AB=12，     ∴BC=AB=6   AC=6，

∴CE=AC﹣AE=2．

∵OB=OF，∠ABC=60°，∴△OBF是正三角形．

∴∠FOB=60°，CF=6﹣4=2，∴∠EOF=60°．

∴S梯形_OECF=（2+4）×2=6．     

 S_扇形EOF==      

∴S_陰影部分=S_梯形OECF﹣_S扇形EOF=6﹣．