Question

如圖所示，在正方形上連接等腰直角三角形和正方形，無限重復(fù)同一過程，第一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為1，第一個(gè)正方形與第一個(gè)等腰直角三角形的面積和為S₁，第二個(gè)正方形與第二個(gè)等腰直角三角形的面積和為S₂，…，第n個(gè)正方形與第n個(gè)等腰直角三角形的面積和為S_n．
（1）計(jì)算S₁、S₂、S₃、S₄．
（2）總結(jié)出S_n與S_n-1的關(guān)系，并猜想出S₁+S₂+S₃+S₄+…+S_n與n的關(guān)系．

Answer 1

解：下一個(gè)正方形面積為上一個(gè)正方形面積的，下一個(gè)等腰直角三角形面積為上一個(gè)等腰直角三角形面積的，
（1）S₁=1×1+×=，
∴S₂=+=，
S₃=，
S₄=．

（2）根據(jù)（1）的求解，總結(jié)規(guī)律：S_n=S_n-1，
計(jì)算得S₁+S₂=，
S₁+S₂+S₃=，
S₁+S₂+S₃+S₄=，
猜測(cè)S₁+S₂+S₃+S₄+…+S_n=．
分析：根據(jù)正方形邊長(zhǎng)相等和等腰三角形中腰長(zhǎng)為斜邊長(zhǎng)的求解，根據(jù)題目給出的信息，我們可以發(fā)現(xiàn)等腰三角形和正方形的面積和成一個(gè)等比數(shù)列，即S_n=s_n-1．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形面積的計(jì)算，考查了已知斜邊等腰直角三角形面積的計(jì)算，本題中，發(fā)現(xiàn)新的一組正方形等腰直角三角形面積和與上一組正方形等腰直角三角形面積和的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．