Question

（2006•成都二模）正三角形外接圓的面積是它內(nèi)切圓面積的

4

倍．

Answer 1

分析：△ABC為等邊三角形，AD為高，⊙O為△ABC的內(nèi)切圓，連OB，根據(jù)正多邊有內(nèi)切圓和外接圓，并且它們是同心圓得到點(diǎn)O為△ABC的外心，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AD⊥BC，易得∠OBC=30°，在Rt△OBD中，利用含30°的直角三角形三邊的關(guān)系得到OD=

1

2

OB，然后根據(jù)圓的面積公式即可得到△ABC的外接圓的面積與其內(nèi)切圓的面積之比．

解答：解：△ABC為等邊三角形，AD為角平分線，⊙O為△ABC的內(nèi)切圓，連OB，如圖，
∵△ABC為等邊三角形，⊙O為△ABC的內(nèi)切圓，
∴點(diǎn)O為△ABC的外心，AD⊥BC，
∴∠OBC=30°，
在Rt△OBD中，OD=

1

2

OB，
∴△ABC的外接圓的面積與其內(nèi)切圓的面積之比=OB²：OD²=4：1．
故答案為4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正多邊形與圓：正多邊有內(nèi)切圓和外接圓，并且它們是同心圓．也考查了等邊三角形的性質(zhì)．