Question

如圖，已知一次函數(shù)與坐標(biāo)軸交于A、B點(diǎn)，AE是∠BAO的平分線，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AE，垂足為E，過(guò)E作x軸的垂線，垂足為M．
（1）求證：M為OB的中點(diǎn)；
（2）求以E為頂點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的拋物線解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）延長(zhǎng)BF交y軸于F點(diǎn)，又由AE是∠BAO的平分線，易得ME∥AF，根據(jù)平行線分線段成比例定理，即可得OM=MB，即M為OB的中點(diǎn)；
（2）由一次函數(shù)y=-x+6與坐標(biāo)軸交于A、B點(diǎn)，求得A與B的坐標(biāo)，則可得OM、AB與AF的值，求得E的坐標(biāo)，然后設(shè)以E為頂點(diǎn)的拋物線解析式為y=a（x-4）²-2，由待定系數(shù)法即可求得以E為頂點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的拋物線解析式．
解答：解法一：
（1）證明：延長(zhǎng)BF交y軸于F點(diǎn)．如圖：
∵AE是∠BAO的平分線，
∴∠1=∠2，
∵BE⊥AE，
∴∠AFB=∠ABF，
∴AF=AB，（1分）
∴BE=FE，（1分）
∵M(jìn)E∥AF，
∴，（1分）
∴OM=MB，即M為OB的中點(diǎn)；（1分）

（2）解：∵一次函數(shù)y=-x+6與坐標(biāo)軸交于A、B點(diǎn)，
∴A（0，6），B（8，0），
∴OM=4，AB=AF=10，（2分）
∴OF=4，
∴ME=2，（1分）
∴E（4，-2），（1分）
設(shè)以E為頂點(diǎn)的拋物線解析式為y=a（x-4）²-2，（1分）
∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，6），
∴a=，（1分）
即以E為頂點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的拋物線解析式為y=（x-4）²-2或y=x²-4x+6；

解法二：
如圖2，過(guò)H作HG⊥AB于G點(diǎn)，（1分）
∵一次函數(shù)y=-x+6與坐標(biāo)軸交于A、B點(diǎn)
∴A（0，6），B（8，0），（1分）
設(shè)OH=x，∵∠1=∠2，
∴OH=HG=x，HB=8-x（1分）
∴在Rt△HGB中，得x=3（1分）
∴OH=3，HB=5
由△AOH∽△BEH得：HE=，BE=2，（2分）
∴ME==2，HM=1，
∴OM=4，（2分）
∴M為OB的中點(diǎn)，
∴E（4，-2），（1分）
設(shè)以E為頂點(diǎn)的拋物線解析式為y=a（x-4）²-2，（1分）
∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，6），
∴a=，（1分）
即以E為頂點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的拋物線解析式為y=（x-4）²-2或y=x²-4x+6．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，點(diǎn)與函數(shù)的關(guān)系以及平行線分線段成比例定理等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．