Question

如圖1，△ABC的邊BC在直線l上，AC⊥BC，且AC=BC；△EFP的邊FP也在直線l上，邊EF與邊AC重合，且EF=FP．
（1）如圖1，請你寫出AB與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；
（2）將△EFP沿直線l向左平移到圖2的位置時，EP交AC于點O，連接AP，BO．猜想并寫出BO與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；
（3）將△EFP沿直線l繼續(xù)向左平移到圖3的位置時，EP的延長線交AC的延長線于點O，連接AP，BO．此時，BO與AP還具有（2）中的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系嗎？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由于AC⊥BC，且AC=BC，邊EF與邊AC重合，且EF=FP，則△ABC與△EFP是全等的等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠BAC=∠CAP=45°，AB=AP，則∠BAP=90°，于是AP⊥AB；
（2）延長BO交AP于H點，可得到△OPC為等腰直角三角形，則有OC=PC，根據(jù)“SAS”可判斷△ACP≌△BCO，則AP=BO，∠CAP=∠CBO，利用三角形內(nèi)角和定理可得到∠AHO=∠BCO=90°，即AP⊥BO；
（3）BO與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系為相等，位置關(guān)系為垂直．證明方法與（2）一樣．

解答：解：（1）∵AC⊥BC，且AC=BC，邊EF與邊AC重合，且EF=FP．
∴△ABC與△EFP是全等的等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠CAP=45°，AB=AP，
∴∠BAP=90°，
∴AP=AB，AP⊥AB；

（2）延長BO交AP于H點，如圖2
∵∠EPF=45°，
∴△OPC為等腰直角三角形，
∴OC=PC，
∵在△ACP和△BCO中

AC=BC ∠ACP=∠BCO CP=CO

，
∴△ACP≌△BCO（SAS），
∴AP=BO，∠CAP=∠CBO，
又∵∠AOH=∠BOC，
∴∠AHO=∠BCO=90°，
∴AP⊥BO，
即BO與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系為相等，位置關(guān)系為垂直；

（3）BO與AP所滿足AP=BO，AP⊥BO．理由如下：
延長OB交AP于點H，如圖3，
∵∠EPF=45°，
∴∠CPO=45°，
∴△CPO為等腰直角三角形，
∴OC=PC，
∵在△APC和△OBC中，

AC=BC ∠ACP=∠BCO CP=CO

，
∴△APC≌△OBC（SAS），
∴AP=BO，∠APC=∠COB，
而∠PBH=∠CBO，
∴∠PHB=∠BCO=90°，
∴BO⊥AP，
即BO與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系為相等，位置關(guān)系為垂直．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：有兩組邊對應(yīng)相等，且它們所夾的角相等，那么這兩個三角形全等；全等三角形的對應(yīng)邊相等．也考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)．