Question

已知：如圖，直角坐標(biāo)系內(nèi)的矩形ABCD，頂點A的坐標(biāo)為(0，3)BC＝2AB，P為AD邊上一動點(與點A、D不重合)，以點P為圓心作⊙P與對角線AC相切于點F，過P、F作直線l，交BC邊于點E．當(dāng)點P運動到點P₁位置時，直線l恰好經(jīng)過點B此時直線的解析式是y＝2x＋1．

(1)求BC、AP₁的長；

(2)設(shè)AP＝m，梯形PECD的面積為S，求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式，寫出自變量m的取值范圍；

(3)以點E為圓心作⊙E與x軸相切．

①探究并猜想：⊙P和⊙E有哪幾種不同的位置關(guān)系？并求出AP相應(yīng)的取值范圍；

②當(dāng)直線l把矩形ABCD分成兩部分的面積之比為3∶5時，則⊙P和⊙E的位置關(guān)系如何？并請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵A(0，3)，∴OA＝3．∵直線l1的解析式是y＝2x＋1，∴B(0，1)，OB＝1，AB＝OA－OB＝2．∵BC＝2AB，∴BC＝4．∵點P是AD上一動點，且A(0，3)，∴P1點縱坐標(biāo)是3．∵點P1在直線y＝2x＋l上，∴P1(1，3)，AP1＝1; 　　(2)∵AP＝m，AD＝4，∴PD＝4－m，P1P＝m－1．∵⊙P與對角線AC相切于點F，∴∠AF1P1＝∠AFP＝，∴P1B∥PE，∵AD∥BC，∴BE＝P1P＝m－1，EC＝5m，∴S＝(PD＋EC)·CD＝(9－2m)×2＝9－2m，自變量m的取值范圍為1≤m＜4; 　　(3)①在Rt△ABP1中，∵AB＝2，AP1＝1，∴BP1＝，點P在AD上運動時，圓心距EP的長總等于，當(dāng)⊙P和⊙E相切時，此時PF＝EP－EF＝－1，∵Rt△APF∽Rt△ACD，∴＝，∴AP＝5－，當(dāng)1≤m＜5－時，兩圓外離；當(dāng)m＝5－時，兩圓外切；當(dāng)5－＜m＜4時，兩圓相交．②∵矩形ABCD的面積是8，且直線l把矩形ABCD分成兩部分的面積之比為3∶5，∴S四邊形PECD＝5或S四邊形PECD＝3．當(dāng)S四邊形PECD＝5時，9－2m＝5，m＝2，即AP＝2，∴1＜AP＜5－．∴此時兩圓外離；當(dāng)S四邊形PECD＝3時，9－2m＝3，m＝3，即AP＝3，∴5－＜AP＜4．∴此時兩圓相交．綜上所述，當(dāng)直線l把矩形ABCD分成兩部分的面積之比為3∶5時，則⊙P和⊙E的位置關(guān)系是外離或相交．