Question

如圖，A、B、C三點(diǎn)在同一直線上，分別以AB、BC為邊，在直線AC的同側(cè)作等邊△ABC和等邊△BCE，連接AE交BD于點(diǎn)M，連接CD交BE于點(diǎn)N，連接MN得△BMN，試判斷△BMN的形狀，并說明理由．

Answer 1

解：△BMN為等邊三角形．理由如下：
∵等邊△ABD、等邊△BCE，
∴∠ABD=∠CBE=60°，
∴∠ABD+∠DBE=∠EBC+∠DBE，
∴∠ABE=∠DBC，
∵AB=DB，BE=CB，
∴△ABE≌△DBC（SAS），
∴∠CDB=∠BAE，
∵∠DBE=180°-60°-60°=60°=∠ABD，
在△ABM和△DBN中，
∴△ABM≌△DBN，
∴BM=BN，
∵∠DBE=60°，
∴△BMN是等邊三角形．
∴BD∥CE，
同理可證AD∥BE，
即可得△BCN∽△ACD，△ABM∽△ACE，
∴=，=，
∵BC=CE，AD=AB，
∴BM=BN，
又∵∠MBN=180°-∠ABD-∠EBC=60°，
∴△BMN為等邊三角形．
分析：首先證明△ABE≌△DBC，可得到能使△ABM≌△DBN的條件，即可求得BM=BN，根據(jù)∠MBN=60°即可求得△BMN為等邊三角形．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定，等邊三角形的判定，本題中求得BM=BN是解題的關(guān)鍵．