Question

（2005•北京）已知：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=kx-4k的圖象與x軸交于點(diǎn)A，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)O、A兩點(diǎn)．
（1）試用含a的代數(shù)式表示b；
（2）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D，以D為圓心，DA為半徑的圓被x軸分為劣弧和優(yōu)弧兩部分．若將劣弧沿x軸翻折，翻折后的劣弧落在⊙D內(nèi)，它所在的圓恰與OD相切，求⊙D半徑的長(zhǎng)及拋物線的解析式；
（3）設(shè)點(diǎn)B是滿足（2）中條件的優(yōu)弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，拋物線在x軸上方的部分上是否存在這樣的點(diǎn)P，使得∠POA=∠OBA？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)圖象，易得點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，代入解析式可得a、b的關(guān)系式；
（2）根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，結(jié)合題意，分a＞0，a＜0兩種情況討論，可得答案；
（3）根據(jù)題意，設(shè)出P的坐標(biāo)，按P的位置不同分兩種情況討論，可得答案．
解答：解：（1）解法一：∵一次函數(shù)y=kx-4k的圖象與x軸交于點(diǎn)A，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0）．
∵拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)O、A兩點(diǎn)，
∴c=0，16a+4b=0．
∴b=-4a（1分）．
解法二：∵一次函數(shù)y=kx-4k的圖象與x軸交于點(diǎn)A，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0）．
∵拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)O、A兩點(diǎn)，
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2．
∴x=-=2．
∴b=-4a（1分）．

（2）由拋物線的對(duì)稱性可知，DO=DA
∴點(diǎn)O在⊙D上，且∠DOA=∠DAO
又由（1）知拋物線的解析式為y=ax²-4ax
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，-4a）
①當(dāng)a＞0時(shí)，如圖
設(shè)⊙D被x軸分得的劣弧為，它沿x軸翻折后所得劣弧為，顯然所在的圓與⊙D關(guān)于x軸對(duì)稱，設(shè)它的圓心為D'
∴點(diǎn)D'與點(diǎn)D也關(guān)于x軸對(duì)稱
∵點(diǎn)O在⊙D'上，且⊙D與OD'相切，
∴點(diǎn)O為切點(diǎn)（2分）
∴D'O⊥OD
∴∠DOA=∠D'OA=45°
∴△ADO為等腰直角三角形
∴OD=2（3分）
∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為-2
∴-4a=-2，
∴a=，b=-4a=-2．
∴拋物線的解析式為y=x²-2x．（4分）
②當(dāng)a＜0時(shí)，
同理可得：OD=2
拋物線的解析式為y=-x²+2x（5分）
綜上，⊙D半徑的長(zhǎng)為，拋物線的解析式為y=x²-2x或y=-x²+2x．

（3）答：拋物線在x軸上方的部分上存在點(diǎn)P，使得∠POA=∠OBA
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），且y＞0
①當(dāng)點(diǎn)P在拋物線y=x²-2x上時(shí)（如圖）
∵點(diǎn)B是⊙D的優(yōu)弧上的一點(diǎn)
∴∠OBA=∠ADO=45°
∴∠POA=∠OBA=60°
過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，
∴tan∠POE=
∴=tan60°，
∴y=．
由
解得：（舍去）
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為．（7分）
②當(dāng)點(diǎn)P在拋物線y=-x²+2x上時(shí)（如圖）
同理可得，y=
由
解得：（舍去）
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4-2，-6+4）．（9分）
綜上，存在滿足條件的點(diǎn)P，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4+2，6+4）或（4-2，-6+4）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查學(xué)生將二次函數(shù)的圖象與解析式相結(jié)合處理問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．