Question

如圖14-1，在銳角△ABC中，AB = 5，AC =，∠ACB = 45°．
計算：求BC的長；
操作：將圖14-1中的△ABC繞點B按逆時針方向旋轉,得到△A₁BC₁．如圖14-2,當點C₁在線段CA的延長線上時．
（1）證明：A₁C₁⊥CC₁；
（2）求四邊形A₁BCC₁的面積；

探究：
將圖14-1中的△ABC繞點B按逆時針方向旋轉,得到△A₁BC₁．連結AA₁,CC₁，如圖14-3．若△ABA₁的面積為5,求點C到BC₁的距離；
拓展：
將圖14-1中的△ABC繞點B按逆時針方向旋轉,得到△A₁BC₁．點E為線段AB中點,點P是線段AC上的動點,在△ABC繞點B按逆時針方向旋轉過程中,點P的對應點是點P₁,如圖14-4．
（1）若點P是線段AC的中點，求線段EP₁長度的最大值與最小值；
（2）若點P是線段AC上的任一點,直接寫出線段EP₁長度的最大值與最小值．

Answer 1

(1)7.(2)證明見解析；；（3）；（4）+，-；，-．

試題分析：過點A做AG⊥BC于G，通過解直角三角形得BG和CG的長，從而可求出BC的長；
由旋轉易證∠CC₁A₁ =∠CC₁B+∠A₁C₁B =45°＋45°=90°，故A₁C₁⊥CC₁；四邊形A₁BCC₁的面積=△CC₁B的面積+△A₁C₁B的面積=；由△∽△C₁BC易求點C到BC₁的距離為.
計算：
解：過點A做AG⊥BC于G，

∵∠ACB = 45°
∴∠GAC = 45°
∴AG=CG
∴在Rt△AGC中， AG="CG" ==4
∴在Rt△ABG中，由勾股定理得，BG=3
∴BC=BG+CG=4+3=7．
操作：
（1）證明：由旋轉的性質可得∠A₁C₁B =∠ACB =45°，BC=BC₁ 
∴∠CC₁B =∠C₁CB =45° 
∴∠CC₁A₁ =∠CC₁B+∠A₁C₁B =45°＋45°=90°
∴A₁C₁⊥CC₁ 
（2）四邊形A₁BCC₁的面積=△C C₁B的面積+ △A₁C₁B的面積=×7×7+×7×4=．
探究：
解：設△中A₁B邊為的高為m；△C₁CB中BC₁邊為的高為n．
∵×5m=5
∴m=2
∵∠ABC=∠A₁B C₁
∴∠ C₁BC=∠A₁BA
∵
∴△∽△C₁BC
∴==
∴n=
∴點C到BC₁的距離.
拓展：
（1）過點P做PH⊥BC，得到：PH=CH=2，

∴BH=BC－CH=7－2=5．
在Rt△BHP中，根據(jù)勾股定理得：BP==．
①△ABC繞點B旋轉，點P的對應點P₁在線段BA的延長線上時，
EP₁最小，最小值為B P₁－BE=BP－BE=－；
②△ABC繞點B旋轉，點P的對應點P₁在線段AB的延長線上時,
EP₁最大，最大值為BP₁+ BE =BP+ BE =+．
（2）過點B作BD⊥AC，D為垂足,

∵△ABC為銳角三角形
∴點D在線段AC上
在Rt△BCD中，BD=BC×sin45°=．
①當P在AC上運動至垂足點D，△ABC繞點B旋轉，
點P的對應點P₁在線段AB上時，
EP₁最小，最小值為-
②當P在AC上運動至點C，△ABC繞點B旋轉，
點P的對應點P₁在線段AB的延長線上時，
EP₁最大，最大值為+7= ．