Question

已知：如圖，BC為⊙O的直徑，AD⊥BC，垂足為D，，BF和AD交于E，過(guò)A的切線交CB的延長(zhǎng)線于G．
求證：（1）AE=BE；（2）AB²=BG•CF．

Answer 1

證明：（1）連接AC．
∵，
∴∠ACB=∠ABF．
又∵∠ACB=90°-∠ABD=∠BAD，
∴∠BAE=∠ABE．
∴AE=BE．

（2）∵，
∴∠GAB=∠ACF，
又∵∠ABG=∠CFA，
∴△ABG∽△CFA．
∴AB：BG=CF：AF．
又∵，∴AB=AF．
∴
∴AB²=BG•CF．
分析：（1）可證∠BAE=∠ABE．連接AC，則∠ABE=∠ACF=∠ACB，所以證∠BAD=∠ACB即可．有這兩角都與∠ABD互余得證；
（2）即證AB：CF=BG：AB，因AB=AF，所以證AB：CF=BG：AF．證它們所在的△ABG、△AFC相似即可．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓的有關(guān)性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)．證等積式常常先轉(zhuǎn)換成比例式，確定它們所在的三角形并證明三角形相似．